آموزشگاه دانش آموختگان سلیم

 

        ———                     –––     

 در جامعه ی کنونی به هر طرف که می نگریم استعدادهای درخشان فراوانی را می بینیم که نیازمند آموزش جدی و صحیح اند.

      

شمع خندید و بگفتا از قدیم         روشنی در علم ناب است ای سلیم

عده ای در روشنایی کاملند               عده ای خود روشنای محفلند

 

*  با مدیریت : عرب  –  رحیمی  *

 

موضوع                                               فهرست                                               صفحه

     مقاله ی کودک تیزهوش ............................................................ 2

    چند سؤال هوش ..................................................................... 5

    جدول زمانبندی کلاسهای ترم زمستان سلیم ....................................... 6

    اسامی مدرسان آموزشگاه سلیم .................................................... 7

   چند سؤال هوش ..................................................................... 8

   جدول هشت روش یادگیری ......................................................... 9

   چند جمله ی قصار از بزرگان ....................................................... 11

   بخشی از افتخارات آموزشگاه سلیم ................................................ 12

         کهتری را که مهتری یابد     

                                         هم بدان چشم کهتری منگر

        خُرد شاخی که شد درخت بزرگ    

                                         در بزرگیَش سرسری منگر  ( خاقانی )

   نکته :

  * دانش آموزان از کلیه ی مدارس می توانند جزوات آموزشی و نکات « المپیادی و

   تیزهوشان » که توسط مدرسین سلیم تهیه و تنظیم گردیده است را تهیه و استفاده نمایند.     * امکان استفاده از بانک کتاب و سؤال و آزمون آموزشگاه برای اعضای این آموزشگاه                 میسر است.                                                                                                

     * DVD و CD کلاسهای تیزهوشان در پایان ترم به شاگردان متقاضی ارائه می شود تا به      صورت صوتی و تصویری ترم گذشته ی خود را مرورکنند.      

 

« به نام خدا »

          آیا کودک شما تیزهوش است؟

بدا به حال ملتی که افراد پر استعداد خود را نادیده بگیرد. فرزندان در بدو تولد و در حین رشد به عنوان قبله ی آمال و آرزوهای والدین، بیشترین توجه آنها را به خود جلب می کنند و با کوچکترین تغییر و تحول رشدی، آنها را در مورد تواناییهای خود به تعجب وا می دارند؛ به طوری که والدین در مورد استعداد شگرف فرزند خود دچار نوعی بزرگ نمایی می شوند و این باعث می شود تا آنها نتوانند متناسب با واقعیت و مصلحت های فرزند خود با آنان رفتار کنند. لذا لازم است که والدین با واقعیت های مربوط به هوش و خصایص تیزهوشان و افراد سرآمد آشنا باشند.  محققان هوش را به عنوان توانایی یادگیری و درک مطالب انتزاعی حل مسئله می دانند. همچنین وقتی از هزار نفر متخصص در این حوزه خواسته شد تا اجزای کلیدی هوش را مشخص کنند ابعاد زیر مورد توافق همه ی آنها بود، تفکر و استدلال کردن انتزاعی، توانایی حل مسئله، قابلیت کسب دانش. برخی از صاحب نظران نیز هوش را معادل زمان و قابلیت لازم برای  آموزش به منظور تسلط یافتن بر یک موضوع درسی دانسته اند: طبق این نظریه، ( الگوی یادگیری در حد تسلط ) هرچه هوش و استعداد فرد بالاتر باشد، زمان و تلاش کمتری برای یاد  دادن به او لازم است. روان شناس فرانسوی به نام « بینه »، هوش را توانایی حل مسئله و قدرت سازگاری با موقعیت تازه و توانایی یادگیری می داند و همچنین اندازه گیری آن را توسط تست خودش یعنی تست بینه می داند. آزمون بینه به این ترتیب است که( بهره ی هوشی برابر است با سن عقلی تقسیم بر سن تقویتی ضربدر صد.) در این فرمول سن عقلی از طریق آزمون به دست می آید.     ( سن تقویتی سن شناسنامه می باشد. )                                                                      

بنابراین در هر اجتماعی عدد 100 نشانه ی هوش متوسط و عقب مانده ها و پیش درسها در ارتباط با آن سنجیده  می شوند. گروهی که ضریب هوشی آن ها کمتر از 70 است جزو عقب مانده های ذهنی و گروه دیگری که ضریب هوشی آنها بیشتر از 100 است جزو افراد باهوش به حساب می آیند.                                                                         

        ویژگی های کودکان باهوش             

     از نظر جسمی، قد، وزن و انرژی عضلانی و زیبایی چهره نسبت به افراد عادی جامعه نسبتاً در وضعی بهتر قرار دارند. از نظر سلامتی وضع بهتری نسبت به افراد عادی جامعه دارند آنها زودتر از کودکان طبیعی دندان در می آورند و به راه می افتند از نظرخانوادگی تحقیقات نشان داده شده است که کودکان سرآمد و تیز هوش بیشتر در خانواده هایی دیده شده اند که در سطوح متوسط و بالاتر اجتماعی، اقتصادی و فرهنگی جامعه قرار دارند گرچه از نظر تحول مهارت های حرکتی کودکان با هوش زودتر به راه می افتند اما در فعالیت های حرکتی و ورزشی ضعیف تر از همکلاسان خود هستند. از نظر روانی عاطفی کودکان باهوش و تیزهوش کم حوصله تر از کودکان طبیعی هستند که این نیز ناشی از تفاوت میان سرعت بالای ذهنی آنان و سرعت پایین توانایی های حرکتی است در مدرسه احساس کسالت می کنند. اعتماد به نفس بالایی دارند، حس همکاری و تعاون در آنها به خوبی رشد یافته و غالباً به عنوان رهبر گروه ها به ایفای نقشهای اجتماعی خود می پردازند. ادب و تواضع، شادی و نشاط، پایبندی به اخلاق ، کوشش و پشتکار از دیگر ویژ گی های کودکان با هوش است. از نظر ویژ گی های شناختی این کودکان هوش بیشتر، قدرت استدلال عالی، خلاقیت، ابتکار، سرعت عمل عالی، حافظه ی خوب، قدرت فراگیری بالا، و میل به یادگیری بالاتر از حد معمول دارند. آنها در یادگیری زبان، خواندن، هنر، ادبیات، علوم و ریاضی از سایر کودکان جلوتر می باشند. علاقه و توجه این کودکان به سوی مسایل مختلف است و زودتر و سریع تر از سایر کودکان به خواندن       

می پردازند. دارای سرگرمی های گوناگون هستند. کمتر تقلب می کنند و از ارتباط عاطفی خوبی برخوردار هستند. استقلال طلبی ویژگی بارز این کودکان است.                

راه های ساده برای افزایش هوش در کودکان                                       

1- هورمون های تیروئیدتان را کنترل کنید؛ کم کاری تیروئید خانم های  باردار سبب            کاهش معنی داری در هوش کودکان می شود.

2- ویتامین هایی را که پزشک در دوران حاملگی برای شما تجویز می کند مصرف کنید.

3- با جنین حرف بزنید و او را صدا کنید.

4- از مصرف قهوه، سیگار، مواد مخدر و داروهای بدون اجازه ی پزشک اجتناب کنید.             شش ماه ی اول پس از تولد :

5- فرزندتان را با شیر مادر تغذیه کنید.   

6- از افسردگی مادر بعد از زایمان جلوگیری کنید، کودکان مادران افسرده در تستهای        تکلم ضعف نشان می دهند.

7- به آوای قرآن و موسیقی ملایم گوش دهید.

8- کودکتان را ماساژ دهید.    

     6 تا 12 ماهگی :

9- با کودک به طور مستقیم حرف بزنید و فکر نکنید که او نمی فهمد یا متوجه نمی شود.  

   10- لغات را با اشیاء ارتباط دهید و با کودکتان بازی های هدف دار انجام دهید.

   11- اجازه ی آزادی حرکت به کودک  بدهید و در هرجا و مکانی او را محدود نکنید.

   12- کودکان از آموزش اجباری خوششان نمی آید؛ پس از آموزش اجباری بپرهیزید.                 1 تا 2 سالگی :

   13- در حضور او مطالعه کنید.   

   14- برای کودکتان کتاب بخوانید؛خواندن کتاب علاوه بر یاد دادن صدای کلمات به کودکان،

          به آن ها لذت کتاب خواندن را نیز می آموزد.

   15- هرگز به کودکتان نگویید که چیزی نمی فهمی: اگر کودک آن را باور کند، این حرف               تحقق می یابد.     

   16- وقتی کودک نوپای شما اشاره به چیزی می کند و نامش را می پرسد در جوابش به او              اطلاعات اضافی نیز بدهید؛ مثلاً آن یک توپ است یک توپ آبی با خط های قرمز.

   17- وقتی با کودکتان بازی یا صحبت می کنید، صداهای اضافی نظیر رادیو و تلویزیون را              خاموش کنید و نور را در حد متوسط نگه دارید. ( محرک های اضافی و آشفتگی ها                تمرکز او را به هم می زند. )            

   18- شرکت در بازی های دسته جمعی مهارت های هوش اجتماعی کودک را که در صحبت           کردن و برقراری ارتباط مهم است افزایش می دهد.

   19- به کودکتان میان وعده های سالم و مقوی بدهید و هرگز خوردن صبحانه را از او دریغ            نکنید و خواب به موقع شبانه را جدی بگیرید.

   20- به کودکتان اجازه ی ابراز وجود بدهید این کار سبب افزایش اعتماد به نفس در                         کودکان می شود. 

       با توجه به این که حدود 2 تا 3 درصد افراد جامعه سرآمد و تیزهوش هستند در کشور ما اگر جمعیت را 70 میلیون نفر منظور کنیم حدود 2 میلیون نفر سرآمد در اختیار داریم که در کشور ما تحت عنوان استعدادهای درخشان در دوره ی راهنمایی و متوسطه شناسایی و تحت آموزش ویژه ی استثنایی قرار می گیرند ولی مطالعات نشان می دهد که این آموزش ها نتوانسته اند بهره وری مناسبی را داشته باشد به طوری که فارغ التحصیلان این مراکز نتوانسته اند در پُست های مدیریتی جامعه جذب شوند. در خاتمه توصیه می شود که والدین جهت اطمینان از میزان هوش هر فرزند خود با مراجعه به مراکز مشاوره و روان شناختی از طریق آزمون های استانداردی همچون: وکسلر، ریون یا گودیناف آگاهی پیدا کنند.    آموزشگاه دانش آموختگان سلیم –  واحد آموزش عمومی         تلفن آموزشگاه:      2 271000     عرب  09125614020        رحیمی 09125619748  

 

« چند سؤال هوش »

  1-  فرزندی که پسر پدرش نباشد، چه رابطه ای می تواند با او ( پدرش ) داشته باشد ؟

  2- در دهکده ای در آفریقا 800 زن زندگی می کنند.3درصد آنان هریک دارای یک گوشواره             هستند. نیمی از 97 درصد باقیمانده، هریک دو گوشواره دارند و نیمی دیگرگوشواره ندارند.

      با این حساب می توانید بگویید زنان این دهکده، بر روی هم چند گوشواره دارند؟

  3- فرض کنید در سلولِ زندانی گرفتار شده اید که دارای دو دَر است. یکی از درها مُنتهی  به           آزادی می شود و دَرِ دیگر منتهی به اعدام. برای شما مشخص نیست که کدام در آزادی و کدام

      درِ مرگ است. همچنین در زندان 2 زندانبان هستند که یکی همواره دروغ میگوید و دیگری            همواره راست. در ضمن زندانبان دروغگو و راستگو نیز بر شما معلوم نیست. شما فقط مجاز            هستید با طرح یک پرسش و آن هم فقط از یکی از آنها، درِ آزادی را جویا شوید. آیا پرسش را       باید چگونه و خطاب به کدام یک از زندانبانان مطرح کنید؟ ( مسأله ها را ذهنی حل کنید. )

جدول زمانبندی کلاسهای سلیم – ترم زمستان

نام دبیر( آقایان )	ساعت	روز  برگزاری		تعداد جلسات					پایه تحصیلی	نام درس
رحیمی	8-30/6	شنبه		10 ( المپیاد)					اول راهنمایی	ریاضی
رحیمی	30/7-6	دوشنبه		10 ( المپیاد )					دوم راهنمایی	ریاضی
				7  ( المپیاد )					سوم ابتدایی	هوش، ریاضی
صفاخیل	30/7-6	یکشنبه		10 ( المپیاد )					دوم راهنمایی	علوم
صفاخیل				10 ( المپیاد )					اول راهنمایی	علوم
صفاخیل	30/7-6	سه شنبه			10 ( المپیاد )				پنجم ابتدایی	علوم
پورجلیلی	30/7 - 6	دوشنبه			10 (تقویتی)				سوم راهنمایی	ریاضی
رحیمی	30/7-6	چهارشنبه				10 ( تقویتی )			اول دبیرستان	ریاضی
پورجلیلی	30/4 - 3	یکشنبه				10 ( تقویتی )			اول راهنمایی	ریاضی
رحیمی	30/7 - 6	5 شنبه				10 ( تقویتی )			دوم راهنمایی	ریاضی
عرب	45/7- 15/6	5 شنبه				10 (تیزهوشان )			پنجم ابتدایی	ریاضی
همتی	30/7- 6	شنبه/دوشنبه				10 ( تیزهوشان )			سوم راهنمایی	فیزیک
رحیمی آساره وصالی	6 – 30/4 30/7 – 6 12 – 30/10	شنبه/دوشنبه 5 شنبه جمعه				10 ( تیزهوشان )			سوم راهنمایی	حساب
نعمتی عرب	30/10 -  9 6 – 30/4 30/7 – 6		جمعه 5 شنبه 2 شنبه				10 (تیزهوشان )		سوم راهنمایی	هندسه
آریان پور	12 –  30/10 30/7 – 6		جمعه 5 شنبه				10 ( تیزهوشان )		سوم راهنمایی	شیمی
واحدی							10 ( تقویتی )		دوم دبیرستان	فیزیک 2
رحیمی	30/7 – 6		یک شنبه				10 ( تقویتی )		اول دبیرستان	فیزیک 1
	6 – 30/4		سه شنبه					ویژه راهنمائیها		هوش، ریاضی

* سلیم جمعی از بهترین ها را گرد هم آورده است. *

با هر سطح علمی و با هر چقدر زمان اندک می توان برای شرکت در آزمونهای المپیاد و تیز هوشان برنامه ریزی کرد. موفقیت در این آزمون ها را با سلیم تجربه کنید.

 

 

 

 

چند سؤال هوش

1-  اعداد از یک تا 7 را در جدول زیر طوری بنویسید که هیچ دو عدد متوالی

      همسایه ی هم نباشند. ( قطری و سطری ستونی )

2-  سه چوب کبریت را طوری جا به جا کنید که جهت حرکت ماهی

        عوض شود.

 

       3- با اضافه کردن یک خط تساوی را بر قرار کنید.     

                  5 + 5 + 5 = 550                                                              4- اگر 5 سیب روی میز باشد 3 سیب بردارید. چند سیب دارید؟

       5- با حرکت سه چوب کاری کنید 4 مثلث ایجاد شود.                                              

                                                                                       

 

« جملات قصار از بزرگان »

   1- پیروزی آن نیست که هرگز زمین نخوری ، بلکه آن است که پس از هر زمین خوردنی                برخیزی. ( گاندی )

  2- موفقیت بدست آوردن چیزی است که دوست داری و خوشبختی دوست داشتن چیزی

        که بدست آورده ای.

  3- برای تربیت اراده بهترین زمان ایام جوانی است. ( فیثاغورث )

  4- دوست هرکس خرد و دانش او و دشمنش جهل و نادانی اوست. ( امام رضا ( ع ) )

  5- اگر به دنبال موفقیت نروید خودش به دنبال شما نخواهد آمد. ( مارو اکینز )

  6- هرچه موانع جدی تر و سخت تر باشد، لذت تلاش و پیروزی بیشتر است. (اریک باترُورت)

  7- زندگی تنها به این درد می خورد که انسان به دو کار مشغول شود اول ریاضیات بخواند              دوم ریاضیات درس بدهد. ( پراسون )

  8- میانه روی در خرج یک نیمه از معیشت است، دوستی با مردم یک نیمه از عقل و خوب             پرسیدن یک نیمه از دانش است. ( پیامبر اکرم (ص) )

  9- اگر باور داشته باشی که می توانی حتماً می توانی. ( ناپلئون هیل )

  10- آنکه می خواهد روزی پریدن آموزن، نخست باید ایستادن، راه رفتن، دویدن و

          بالا رفتن را بیاموزد. پرواز با پرواز آغاز نمی شود. ( نیچه )

  11- اگر به دانشی گرایشی داریم تنها تلاش نکنیم که دانشمند شویم بلکه در همان حال                 انسانی شریف و برای اجتماع خود عنصری مفید باشیم. ( جرج سارتون )

  12- براي گسترش انديشه خود بايد بيشتر از آن چه ياد مي گيريم فكر كنيم. ( دکارت )

  13- در دنيا لذتي كه با لذت مطالعه برابري كند نيست . ( تولستوی )

  14- از پیروزی تا سقوط فقط یگ گام فاصله است. (ناپلئون )

  15- برای رسیدن به هدفهای بزرگ از پذیرفتن زیان های کوچک نترسید. ( دیل کارنگی )        

  16- هر چقدر کارهای بيشتری را به دفعات بيشتر امتحان کنيد، احتمال موفقيت شما نيز               بيشتر می شود.

     17- از نبوغ 1 %، الهام و 99 % دیگرش تلاش و پشتکار و جدّیت است. ( ادیسون )

     18-  اگر در اولین قدم موفقیت نصیب ما می شد، دیگر سعی و تلاش و عمل معنی نداشت.

بخشی از افتخارات آموزشگاه دانش آموختگان سلیم

 

                    مؤلفان کتب آموزشی کشوری

                     

       مدال آوران طلای جهانی و کشوری ( فیزیک – شیمی و نجوم )

                 

           سر گروه های درسی شهرستان های استان تهران

     همکاری     

     انجمن معلمان ریاضی غرب استان تهران

         با               

  طراحان آزمون های المپیاد و مسابقات علمی و آزمون های ورودی

                     

       دبیران مجرب مدارس تیزهوشان کرج

                     

       طراحی در تألیفات و آزمون های قلم چی، گاج، آیندگان

     این آموزشگاه افتخار دارد ضمن ارائه ی بهترین برنامه های آموزشی  و   

با بهره گیری از بهترین اساتید کرج ، فرزندان  تیزهوش شما را یاری نماید تا  احتمال                  پذیرش آنها درآزمون های ورودی تیزهوشان  و آزمون های مختلف

 و المپیاد ها چندین برابر افزایش یابد.

  

 هر ساله در آزمون های ورودی تیزهوشان و موفقیت دیگر دانش آموزان در المپیاد های            مختلف  استانی و کشوری بخشی از افتخارات آموزشگاه دانش آموختگان سلیم می باشد.

      تألیف بیش از 20 جلد کتاب آموزشی  در زمینه های فیزیک ، علوم ، شیمی،  ?      

ریاضی ( هوش، بازی و ریاضی، کتب تمرین ریاضیات برای سه پایه ی مقطع راهنمایی،

کتاب بانک سوالات المپیاد ریاضی پایه ی پنجم ابتدایی و راهنمایی و ...)

توسط مدرسین این آموزشگاه از دیگر افتخارات موسسه ی سلیم است.

  به امید دیدارتان و شکوفایی

 استعداهای درخشانتان در

آزمون های تیزهوشان و المپیاد ها.

* آموزشگاه دانش آموختگان سلیم *

 

a.wwwboreyhan1400.blogfa.com

www.maths.blogfa.com

www.kalyan.blogfa.com

 

             

           آدرس آموزشگاه: پایین تر از میدان سپاه - میدان والفجر- روبه روی

               مسجد حضرت ابوالفضل –  هجرت 18 – پلاک 4

تلفن :  2710002

09125614020                      09125619748

« هشت روش یادگیری »

نیاز دارند  به :	علاقه دارند  به:	فکرمی کنند  به :	کودکانی که  دارای مهارت بالا در زمینه های:
کتاب، نوار، ابزارهای              نوشتاری، مقاله، دفاتر         یادداشت، مکالمه، مباحثه،          مذاکره و داستان	خواندن و نوشتن، داستان سرایی و بازی با کلمات	کلمه ها و جملات	هوش زبانی
ابزارهای علمی و وسایلی که با آن آزمایش انجام       دهد، رفتن به آسمان نماها و موزه های علمی	تجربه کردن و درک کردن حل معماهای ریاضی و محاسبات	روش های استدلال و استنتاج	هوش منطقی  ریاضی
آثار هنری، لگوها، ویدئو          فیلم، اسلاید  بازی های     تخیلی، معما، کتابهای مصور    و رفتن به موزه های علمی	طراحی، نقاشی کردن و خط خطی کردن	نقوش و تصاویر	هوش مکانی
نمایش درام، حرکت برای    ساختن، ورزش و بازی های فیزیکی،جزبیات  لامسه ای و آموزش عَمَلی	دویدن، پریدن، ساختن، لمس کردن و بیان کردن با ایما و اشاره	دریافت از طریق حواس پنجگانه	هوش حرکتی  جسمانی

 برای اینکه دانش ملکه شود، آموزش کافی نیست، عمل لازم است.( برنارد شاو )             ?  علم نعمت بزرگی است که در زندگی تاج افتخار و پس از مرگ یادگار?

درخشان خواهد بود. حضرت علی ( ع )

نیاز دارند  به :	علاقه دارند به :	فکر می کنند به :	کودکانی که دارای مهارت بالا در زمینه  های :
آواز خوانی، رفتن به کنسرت، نواختن موسیقی، در خانه و         مدرسه و آلات موسیقی	خواندن، سوت زدن،  زمزمه کردن، ضربه       زدن با دست و پا و گوش دادن	دریافت از طریق  ریتم و ملودی و         هارمونی	هوش          موسیقیایی
دوستان، بازیهای گروهی، معاشرت های اجتماعی، باشگاهها و مشاوره و کارآموزی	راهنمایی،    سازمان دادن، کنترل کردن،  تغییر و تبدیل	اِعمال نظریات بر دیگر افراد گروه	هوش  میان فردی
مکانهای خلوت، تنهایی، پروژه های فردی و گزینش ها	تعیین هدف، خیال پردازی، برنامه ریزی و واکنش نشان دادن	خواسته ها،             احساسات و اهداف خود	هوش درون فردی
رفتن به طبیعت فرصت ارتباط با حیوانات و        ابزارهایی جهت جستجو در طبیعت ( مانند ذره بین یا دو چشمی )	بازی با حیوانات اهلی،     باغبانی،جستجو  در طبیعت، پرورش حیوانات و حفاظت از کره زمین	طبیعت و اشکال طبیعی ( زمینی و آسمانی)	هوش طبیعت گرا

 هر اقدام بزرگی در ابتدا محال به نظر می رسد. ( کارل لایل ) ?    

  داناترین فرد کسی است که دانش مردم را بر دانش خود جمع کند. پیامبر اکرم(ص) 

   هیچ چیز غیر ممکن نیست، غیر ممکن برای افراد ناتوان است. ( ژول ورن )–

    رمز موفقيت دو چيز است : 1- تعيين اهداف و برنامه ريزی برای آنها ،Ð

2- مشخص کردن انگيزه ها.

تاریخچه هندسه

 

سه قرن اول رياضيات يوناني كه با تلاشهاي اوليه در هندسه برهاني بوسيله تالس در حدود ۶۰۰ سال قبل از ميلاد شروع شده و با كتاب برجسته اصول اقليدس در حدود ۳۰۰ سال قبل از ميلاد به اوج رسيد، دوره‌اي از دستاوردهاي خارق العاده را تشكيل مي‌دهد. در حدود ۱۲۰۰ سال قبل از ميلاد بود كه قبايل بدوي “دوريايي” با ترك دژهاي كوهستاني شمال براي دستيابي به قلمروهاي مساعدتر در امتداد جنوب راهي شبه جزيره يونان شدند و متعاقب آن قبيله بزرگ آنها يعني اسپارت را بنا كردند. بخش مهمي از سكنه قبلي براي حفظ جان خود ، به آسياي صغير و زاير يوناني و جزاير يوناني درياي اژه گريختند و بعدها در آنجا مهاجرنشنهاي تجاري يوناني را برپا كردند. در اين مهاجرنشينها بود كه در قرن ششم (ق.م) اساس مكتب يوناني نهاده شد و فلسفه يوناني شكوفا شد و هندسه برهاني تولد يافت. در اين ضمن ايران بدل به امپراطوري بزگ نظامي شده بود و به پيروزي از يك برنامه توسعه طلبانه در سال ۵۴۶ (ق.م) شهر يونيا و مهاجرنشينهاي يوناني آسياي صغير را تسخير نمود. در نتيجه عده‌اي از فيلسوفان يوناني مانند فيثاغورث موطن خود را ترك و به مهاجرنشينهاي در حال رونق جنوب ايتاليا كوچ كردند. مدارس فلسفه و رياضيات در “كروتونا” زير نظر فيثاغورث در “اليا” زير نظر كسنوفانس ، زنون و پارميندس پديد آمدند. در حدود۴۸۰ سال قبل از ميلاد آرامش پنجاه ساله براي آتنيها پيش آمد كه دوره درخشاني براي آنان بود و رياضيدانان زيادي به آتن جذب شدند. در سال ۴۳۱ (ق.م) با آغاز جنگ “پلوپونزي” بين آتنيهاي و آسپارتها ، صلح به پايان رسيد و با شكست آتنيها دوباره ركورد حاصل شد.ظهور افلاطون و نقش وي در توليد دانش رياضياگرچه با پايان جنگ پلوپرنزي مبادله قدرت سياسي كم اهميت تر شد، اما رهبري فرهنگي خود را دوباره بدست آورد. افلاطون در آتن يا حوالي آن و در سال ۴۲۷ (ق.م) كه در همان سال نيز طاعون بزرگي شيوع يافت و يك چهارم جمعيت آتن را هلاك رد و موجب شكست آنها شد، به دنيا آمد، وي فلسفه را در آنجا زير نظر سقراط خواند و سپس در پي كسب حكم عازم سير و سفرهاي طولاني شد. وي بدين ترتيب رياضيات را زير نظر تيودوروس در ساحل آفريقا تحصيل كرد. در بازگشت به آتن در حدود سال ۳۸۷ (ق.م) آكادمي معروف خود را تاسيس كرد. تقريبا تمام كارهاي مهم رياضي قرن چهارم (ق.م) بوسيله دوستان يا شاگردان افلاطون انجام شده بود. آكادمي افلاطون به عنوان حلقه ارتباط رياضيات فيثاغورثيان اوليه و رياضيات اسكندريه در آمد. تاثير افلاطون بر رياضيات ، معلول هيچ يك از كشفيات رياضي وي نبود، بلكه به خاطر اين اعتقاد شورانگيز وي بود كه مطالعه رياضيات عاليترين زمينه را براي تعليم ذهن فراهم مي‌آورد و از اينرو در پرورش فيلسوفان و كساني كه مي‌بايست دولت آرماني را اداره كنند، نقش اساسي داشت. اين اعتقاد ، شعار معروف او را بر سر در آكادمي وي توجيه مي‌كند: “كسي كه هندسه نمي‌داند، داخل نشود.” بنابراين به دليل ركن منطقي و نحوه برخورد ذهني نابي كه تصور مي‌كرد مطالعه رياضيات در شخص ايجاد مي‌كند، رياضيات به نظر افلاطون از بيشترين اهميت برخوردار بود، و به همين جهت بود كه جاي پر ارزش را در برنامه درس آكادمي اشغال مي‌كرد. در بيان افلاطون اولين توضيحات درباره فلسفه رياضي موجود هست.

 

 

 

هندسه فضایی

مقدمه

هندسه فضایی به بررسی موقعیت اجسام ، اجرام و نقاط متحرک یا ساکن در فضا می‌پردازد، فضا مختصاتی سه بعدی دارد شامل طول ، عرض ، ارتفاع که این ابعاد را با x ، y و z در صفحه مختصات فضایی نمایش می‌دهیم. مهمترین مبحث در هندسه فضایی مبحث بردارها می‌باشند. بنابراین در هندسه فضایی به مؤلفه‌های برداری ، بردارهای یکه ، صفحات ، فاصله‌ها و ... خواهیم پرداخت.

مؤلفه‌های برداری و بردارهای یکه i ، k , j

بعضی از کمیات فیزیکی مانند طول و جرم اندازه پذیر هستند و توسط اندازه‌شان کاملا معین می‌شوند، این کمیات و کمیات نظیر آنها را کمیات اسکالر می‌گوئیم. اما کمیات دیگری وجود دارند که علاوه بر اندازه باید جهت آنها نیز مشخص باشد تا معین شوند این کمیات را کمیات برداری گوئیم. یک بردار را معمولا با پاره خطی جهتدار نمایش می‌دهند که جهتش نمایش جهت بردار بوده و طولش بر حسب یک واحد اختیار شده نمایش اندازه‌اش می‌باشد. دو بردار را زمانی مساوی می‌نامیم که از لحاظ جهت و اندازه یکسان باشند.

بهترین جبر بردارها مبتنی بر نمایش آنها بر حسب مؤلفه‌های موازی محورهای مختصات دکارتی است. این کار با استفاده از واحد طول یکسان بر سه محور x ، z , y صورت می گیرد و در این راه از بردارهای با طول یک در امتداد محورها به عنوان بردارهای یکه استفاده می‌شود که i را بردار یکه محور j ، x را بردار یکه محور y ها و k را بردار یکه محور z ها می‌گوئیم.
مهمترین ویژگی بردارها در فضا مانند حالتی است که در صفحه قرار دارند طول و جهت آنها است. طول بردارها با دو بار استفاده از قضیه فیثاغورس به دست می‌آید. اما به صورت ساده‌تر جهت بردار ناصفر بردار واحدی است که از تقسیم مؤلفه‌های آن بر طولش به دست می‌آید.

بردار بین دو نقطه در فضا

بیشتر اوقات لازم است که بردار بین نقاط را بدست آوریم. هندسه فضایی این مشکل را برای ما حل می‌کند، به این ترتیب که اگر دو نقطه را برحسب مختصات فضایی که دارند بیان کنیم بردار بین این دو نقطه توسط رابطه زیر حاصل خواهد شد:

 

فاصله در فضا

برای یافتن فاصله بین دو نقطه به مختصات گفته شده در مطلب بالا از مجموع توان دوم هر یک از مؤلفه‌های فوق رادیکال با فرجه دوم می‌گیریم بنابراین داریم:

حاصل عبارت فوق یک کمیت اسکالر می‌باشد.
وسط یک پاره خط در فضا
برای پیدا کردن وسط یک پاره خط که دو نقطه را به هم وصل می‌کند متوسط و یا به عبارتی میانگین مختصات را بدست می‌آوریم.

کره و استوانه

علاوه بر مطالب فوق هندسه فضایی به مطالعه کره و استوانه نیز می‌پردازد. معادله متعارف کره به شعاع a و مرکز به صورت زیر است:

در مورد استوانه و مطالعه درباره استوانه ناچار به تعمیم هندسه تحلیلی به فضا هستیم. به طور کلی استوانه سطحی است که از حرکت خط مستقیم در امتداد یک منحنی تولید می‌شود به طوری که همواره موازی خط می‌باشد. به طور کلی ، هر منحنی مانند
در صفحه استوانه‌ای در فضا تعریف می‌کند که معادله آن به صورت فوق می‌باشد و از نقاط خطوطی مار بر منحنی تشکیل شده است که با محور z موازی‌اند. خطوط را گاهی عناصر استوانه می‌نامند. بحث فوق را می‌توان برای استوانه‌هایی که عناصرشان موازی سایر محورهای مختصات‌اند تکرار کرد. به طور خلاصه: یک معادله در مختصات دکارتی ، که از آن یکی از مختصات متغیر حذف شده، نمایش استوانه ای است که عناصرش موازی محور مربوط به متغیر مفقود است. سهمی گونها یکی دیگر از اشکال مختصات فضایی هستند. بسیاری از آنتنها به شکل قطعاتی از سهمی گونهای دوارند، رادیو تلسکوپها یکی دیگر از انواع سهمی گونهای مورد استفاده بشر هستند که در ساخت آنها از هندسه فضایی مدد گرفته شده است.

منشور

منشور قائم شکلی فضایی است که از دو یا چند ضلعی مساوی و موازی تشکیل شده که رئوس این چندضلعیها طوری به هم وصل شده اند که وجوه جانبی این شکل فضایی مستطیل می‌باشد.

مکعب مستطیل

مکعب مستطیل منشوری است که قاعده‌های آن مستطیل می‌باشد اگر ابعاد قاعده مکعب مستطیل b , a و ارتفاع آن c باشد خواهیم داشت:

a+b)2c) = مساحت جانبی مکعب مستطیل

 

(ab+ac+bc)2=2ab+(2bc+2ac)= مساحت کل مکعب مستطیل

 

Abc= حجم مکعب مستطیل

 

 

هرم

هرم شکلی است فضایی که قاعده آن یک یا چند ضلعی است و وجوه جانبی آن مثلث است. این مثلثها یک رأس مشترک به نام S دارند. هرمی که قاعده آن مربع باشد هرم مربع القاعده و هرمی که قاعده آن مثلث باشد هرم مثلث القاعده نامیده می‌شود. پاره خطی که از رأس هرم بر صفحه قاعده آن عمود می‌شود ارتفاع نامیده می‌شود. اگر قاعده یک هرم یک چند ضلعی منتظم باشد پای ارتفاع آن بر مرکز قاعده منطبق باشد، هرم را هرم منتظم می‌نامیم. ارتفاع هر وجه جانبی هرم منتظم را سهم هرم می‌نامند.

2/سهم×محیط قاعده= مساحت جانبی هرم منتظم

 

ارتفاع×مساحت قاعده ×3/1 = حجم هرم

 

مخروط

اگر یک مثلث قائم الزاویه را حول یکی از اضلاع زاویه قائمه دوران دهیم شکلی فضایی پدید می‌آید که مخروط نامیده می‌شود. در این صورت ضلعی که مثلث را حول آن دوران داده‌ایم ارتفاع مخروط و ضلع دیگر زاویه قائمه شعاع قاعده مخروط و وتر مثلث مولد مخروط می‌باشد.

2 / مولد مخروط×محیط قاعده مخروط = مساحت جانبی مخروط

 

ارتفاع×مساحت قاعده×3/1 = حجم مخروط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

هندسه تحلیلی

مقدمه

هندسه تحلیلی شامل مباحثی چون بردارها ، معادلات حرکت پرتابه ، معادلات خط ، ضرب عددی و برداری، بردارها. مقاطع مخروطی که در هندسه یونان پا گرفت و امروزه با معادلات درجه دو بعنوان منحنی‌هایی در صفحه مختصات توصیف می‌شوند یونانیان زمان افلاطون این منحنی‌ها را فصل مشترک یک صفحه با یک مخروط می‌گرفتند که نام مقطع مخروطی از آن ناشی شده است. نکته‌ای که حائز اهمیت اشاره به این مسئله است که در مطالعات هندسه تحلیلی مختصات دکارتی از اهمیت فوق‌العاده‌ای دارد زیرا توسط این مختصات ما می‌توانیم طول و عرض و ارتفاع اجسامی را که می‌بینیم به صفحه منتقل کرده و درباره آنها براحتی به مطالعه پردازیم.

بردارها

برخی از کمیات که اندازه می‌گیریم با اندازه‌شان کاملا مشخص می‌شوند مانند جرم ، طول ، زمان. اما همانطور که می‌دانیم توصیف یک نیرو ، تغییر مکان و سرعت تنها با اندازه مشخص نمی‌شوند بلکه برای درک صحیحی از آنها باید جهت آنها نیز برای ما مشخص باشند کمیاتی که علاوه بر اندازه دارای جهت نیز می‌باشند معمولا با پیکانهایی به نمایش درمی‌آیند که به جهت اثر کمیت اشاره می‌کنند و طول‌هایشان به اندازه اثر آنها برحسب واحد مشخص اشاره می‌کنند. به این کمیات بردار می‌گوییم.

یک بردار واقع در صفحه عبارت است از پاره‌خطی جهتدار از آنجا که بردار اساسا از طول و جهت تشکیل می‌شود و بردار را همسنگ و یا حتی یکی می‌نامیم هرگاه طول و جهتشان یکی باشد.

بردارهای نوین امروزی ریشه در کواترنیونها دارند. کواترنیونها تعمیمی هستند از جفت به چهارتایی مرتب . جبر کواترنیونها را ویلیام همیلتن ریاضیدان ایرلندی (1805-1865) ابداع کرد. اما مهندسان علی‌الخصوص اولیور هویساید آنالیز برداری را رواج دادند. برخی از فیزیکدانان از جمله شاخص‌ترین آنها جیمز کلارک ماکسول ، از هر دو مضمون کواترنیونها و بردارها بهره بردند. سرانجام مقارن با تحویل قرن ، آنالیز برداری گیبس و هوسیاید غلبه کرد. مهندسان از جمله نخستین معتقدان، فیزیکدانان از نخستین گروندگان و ریاضیدانان آخرین پذیرندگان این باب از ریاضیات بودند.

بردارها درفضا

مهمترین ویژگی بردارها در فضا مانند حالتی که در صفحه داشتند طول و جهت آنهاست. طول برداری مانند با دوبار استفاده از قضیه فیثاغورث بدست می‌آید. و جهت آنها از تقسیم مولفه‌های برداری چون A بر اندازه‌اش بدست می‌آید.

 

معادلات پارامتری حرکت ایده‌آل پرتابه

برای بدست آوردن معادلات حرکت پرتابه فرض می‌کنیم پرتابه مانند ذره‌ای رفتار می‌کند که در صفحه مختصات قائم حرکت می‌کند و تنها نیروی موثر بر آن در ضمن حرکتش ، نیروی ثابت گرانش است که همواره روبه پایین است. در عمل هیچ یک از این فرضیات برقرار نیست زمین در زیر پرتابه می‌چرخد هوا نیروی اصطکاکی ایجاد می‌کند که به سرعت و ارتفاع پرتابه بستگی دارد. برای توصیف حرکت در یک دستگاه مختصات مشخص فرض می‌کنیم پرتابه در لحظه از مبدا صفحه xy پرتاب می‌شود. همچنین فرض می‌کنیم پرتابه در ربع اول حرکت می‌کند و مقدار سرعت اولیه است و بردار سرعت با محور xهای مثبت زاویه می‌سازد. در هر لحظه t ‌، ، مکان پرتابه با جفت مختصات . مشخص می‌شود. بنابراین پس از ساده‌ کردن یک سری از معادلات به روابط زیر دست می‌یابیم که مکان ذره t ثانیه پس از پرتاب برای ما مشخص می‌سازد:

مسیر ایده‌آل یک سهمی است.

اغلب ادعا می‌شود که مسیر حرکت آبی که از یک لوله بیرون می‌جهد یک سهمی است اما اگر به دقت این مسیر بنگریم می‌بینیم که هوا سقوط آب را کند می‌کند و حرکت آن رو به جلو آنقدر کند است که از انتهای سقوطش از شکل سهموی خارج می‌شود. ادعایی که در مورد سهموی بودن حرکت می‌شود فقط در مورد پرتابه‌های ایده‌آل واقعا درست است. این مطلب را می‌توان از روابط که در بالا برای y ,x ذکر شد بدست آورد. بدین ترتنیب که هرگاه مقدار t را از معادله x بدست آوردیم و آن را در معادله y جاگذاری کنیم معادله دکارتی بدست آمده نسبت به x از درجه دوم و نسبت به y از درجه اول است پس نمودارش یک سهمی است.

خط در فضا

فاصله در فضا

گاهی لازم است که فاصله بین دو نقطه مثل در فضا مشخص باشد برای این کار طول را می‌یابیم که در اینصورت داریم:

 

وسط پاره خط

مختصات نقطه وسط M پاره‌خطی که دو نقطه را بهم وصل می‌کند متوسط مختصات هستند. برای پی‌بردن به دلیل این مطلب کافی است توجه کنیم که این نقطه مختصات مولفه عددی برداری است که مبدا را به M وصل می‌کند که به این ترتیب تمام مولفه‌های M از نصف مجموع مولفه‌های نظیر به نظیر بدست می‌آید.

زوایای بین خم‌ها

زوایای بین دو خم مشتق‌پذیر در یک نقطه تقاطع آنها عبارت‌اند از زوایای بین خط‌های راس بر آنها در آن نقطه.

معادله‌های خط و پاره‌خط

فرض می‌کنیم L خطی باشد در فضا که از نقطه بگذرد و موازی با بردار باشد. پس L مجموعه نقاطی است مانند به قسمی که بردار با V موازی است یعنی P بر L واقع است اگر و تنها اگر به ازای عددی مانند t داشته باشیم: این معادلات را پس از ساده ‌کردن بصورت معادلات پارامتری متعارف خط L درست می‌یابیم که عبارت‌اند از:

وقتی پارامتر t از تا افزایش می‌یابد نقطه دقیقا یکبار خط را می‌پیماید. وقتی t بازه بسته را می‌پیماید، P از نقطه‌ای که در آن t=a تا نقطه‌ای که در آن t=b بر روی یک پاره‌خط جابجا می‌شود.

فاصله یک نقطه از یک خط

برای یافتن نقطه‌ای چون P از خطی مانند L کافی است برای اولین قدم نقطه‌ای مانند Q را روی L در نظر بگیریم که نزدیکترین فاصله را تا P داشته باشد سپس برای قدم دوم لازم است فاصله P تا Q را محاسبه کنیم بدین ترتیب فاصله یک نقطه از خط دیگری را بدست آورده‌ایم.

معادله صفحه

فرض می‌کنیم M معرف صفحه‌ای از فضاست که از نقطه می‌گذردو بر بردار ناصفر عمود است. پس M از مجموعه نقاطی مانند تشکیل می‌شود که به ازای آنها بردار بر N عمود است. یعنی P روی M است اگر و تنها اگر:
با جاگذاری عبارت معادل در تساوی فوق معادله صفحه حاصل می‌شود.

زاویه بین دو صفحه ، فصل مشترک دو صفحه

بنابه تعریف زاویه بین دو صفحه متقاطع ، زاویه حاده‌ای است که دو بردار قائم بر آنها با هم می‌سازند. بنابراین زاویه بین دو صفحه که بردارهای قائم بر دو صفحه‌اند توسط رابطه زیر حاصل می‌شود:

(منظور از | | ، اندازه بردارها می‌باشد.)
برای یافتن معادلات پارامتری فصل مشترک دو صفحه ابتدا برداری موازی با فصل مشترک و سپس نقطه‌ای واقع بر فصل مشترک می‌یابیم. همانطور که می‌دانیم هر بردار که موازی با فصل مشترک دو صفحه باشد با هر دو صفحه مفروض موازی است لذا بر بردارهای قائم بر آن دو صفحه عمود است. بنابراین با یافتن بردار حاصل ضرب خارجی بردارهای عمود بر صفحات می‌توان بردار موازی فصل مشترک را بیابیم. برای یافتن نقطه‌ای روی فصل مشترک باید نقطه‌ای بیابیم که در هر دو صفحه باشد بدین منظور z=0 را در معادلات صفحه قرار می‌دهیم و دستگاه حاصل را نسبت به x , y حل می‌کنیم نقطه حاصل در هر دو صفحه خواهد کرد.

کاربردها

هندسه تحلیلی همانطور که از نامش پیداست به تحلیل و کنجکاوی هندسه و روابط هندسی می‌پردازد و کاربردهای آن در مسیر علوم از جمله فیزیکی - اخترشناسی- هوافضا- حتی شیمی غیرقابل انکار است. همه مطالب ذکر شده فوق مقدمه‌ای است برای بررسی مفصل‌تر حرکت. مبحث بردارها پایه خوبی برای بسط و گسترش حساب دیفرانسیل و انتگرال فراهم آورده است.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مفاهیم اساسی هندسه نیز،درست همان طور که مفهوم عدد از دنیایی مرئی مجرد شده است،از فرایندی تجریدی که قرن‌ها به طول انجامیده به دست آمده‌اند.
در این مورد ،با چشم پوشی از تفاوت‌های غیر ذاتی، از قبیل رنگ،شکل یا ترکیب رویه ای،و عدم توجه به اختلاف‌های دیگر اشیای حقیقی،به صورتهای فضایی در سه بعد:طول ،عرض و ارتفاع می‌رسیم.
جسم فضایی سه بعد،اما رویه تنها دو بعد،خط مثلا لبه برخورد دو رویه،یک بعد و سرانجام ،نقطه،که به عنوان تقاطع دو خط در نظر گرفته میشود بعد صفر دارد.
در هندسه مسطحه صفحه را همواره به صورتی که داده شده است در نظر می گیریم،و بررسی‌های هندسی را ،در حالت عمومی،در این صفحه انجام می‌دهیم،اما در حالت‌های خاص بهتر است که فضای اقلیدسی نیز به عنوان یک شی هندسی در نظر گرفته شود.
نقطه‌ها و خط‌ها مفاهیم اساسی هندسه مسطحه مقدماتی اند.به طور شهودی،خط را اغلب به صورت مسیر نقطه‌ای تعریف می‌کنند که در صفحه به چنان طریقی حرکت می‌کند که همواره کوتاهترین راه بین دو مکان خود را اختیار می‌کند و تغییر سو نمی‌دهد: با این همه ،حتی در رهیافتی دقیق‌تر نیز هیچ گونه تعریفی از خط و نقطه داده نمی‌شود اما در ریاضیات جدید رابطه‌های بین این دو نوع شی هندسی توسط اصل موضوعه (axiom)ها مشخص می‌شوند.

 

 

در قرن نوزدهم دو ریاضیدان بزرگ به نام «لباچفسکى» و «ریمان» دو نظام هندسى را صورت بندى کردند که هندسه را از سیطره اقلیدس خارج مى کرد. صورت بندى «اقلیدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترین کالاى فکرى بود و پنداشته مى شد که نظام اقلیدس یگانه نظامى است که امکان پذیر است. این نظام بى چون و چرا توصیفى درست از جهان انگاشته مى شد. هندسه اقلیدسى مدلى براى ساختار نظریه هاى علمى بود و نیوتن و دیگر دانشمندان از آن پیروى مى کردند. هندسه اقلیدسى بر پنج اصل موضوعه استوار است و قضایاى هندسه با توجه به این پنج اصل اثبات مى شوند. اصل موضوعه پنجم اقلیدس مى گوید: «به ازاى هر خط و نقطه اى خارج آن خط، یک خط و تنها یک خط به موازات آن خط مفروض مى تواند از آن نقطه عبور کند.»

 

هندسه لبچفسکی و هندسه ریمانی

هندسه «لباچفسکى» و هندسه «ریمانى» این اصل موضوعه پنجم را مورد تردید قرار دادند. در هندسه «ریمانى» ممکن است خط صافى که موازى خط مفروض باشد از نقطه مورد نظر عبور نکند و در هندسه «لباچفسکى» ممکن است بیش از یک خط از آن نقطه عبور کند. با اندکى تسامح مى توان گفت این دو هندسه منحنى وار هستند. بدین معنا که کوتاه ترین فاصله بین دو نقطه یک منحنى است.

هندسه اقلیدسى فضایى را مفروض مى گیرد که هیچ گونه خمیدگى و انحنا ندارد. اما نظام هندسى لباچفسکى و ریمانى این خمیدگى را مفروض مى گیرند. (مانند سطح یک کره) همچنین در هندسه هاى نااقلیدسى جمع زوایاى مثلث برابر با 180 درجه نیست. (در هندسه اقلیدسى جمع زوایاى مثلث برابر با 180 درجه است.) ظهور این هندسه هاى عجیب و غریب براى ریاضیدانان جالب توجه بود اما اهمیت آنها وقتى روشن شد که نسبیت عام اینشتین توسط بیشتر فیزیکدانان به عنوان جایگزینى براى نظریه نیوتن از مکان، زمان و گرانش پذیرفته شد. چون صورت بندى نسبیت عام اینشتین مبتنى بر هندسه «ریمانى» است. در این نظریه هندسه زمان و مکان به جاى آن که صاف باشد منحنى است.

در مورد نظریه نسبیت خاص

نظریه نسبیت خاص اینشتین تمایز آشکارى میان ریاضیات محض و ریاضیات کاربردى است. هندسه محض مطالعه سیستم هاى ریاضى مختلف است که به وسیله نظام هاى اصول موضوعه متفاوتى توصیف شده اند. برخى از آنها چندبعدى و یا حتى nبعدى هستند. اما هندسه محض انتزاعى است و هیچ ربطى با جهان مادى ندارد یعنى فقط به روابط مفاهیم ریاضى با همدیگر، بدون ارجاع به تجربه مى پردازد. هندسه کاربردى، کاربرد ریاضیات در واقعیت است. هندسه کاربردى به وسیله تجربه فراگرفته مى شود و مفاهیم انتزاعى برحسب عناصرى تفسیر مى شوند که بازتاب جهان تجربه اند. نظریه نسبیت، تفسیرى منسجم از مفهوم حرکت، زمان و مکان به ما مى دهد. انیشتاین براى تبیین حرکت نور از هندسه نااقلیدسى استفاده کرد. بدین منظور هندسه «ریمانى» را برگزید.

هندسه اقلیدسى براى دستگاهى مشتمل بر خط هاى راست در یک صفحه طرح ریزى شده است اما در عالم واقع یک چنین خط هاى راستى وجود ندارد. اینشتین معتقد بود امور واقع هندسه ریمانى را اقتضا کرده اند. نور بر اثر میدان هاى گرانشى خمیده شده و به صورت منحنى در مى آید یعنى سیر نور مستقیم نیست بلکه به صورت منحنى ها و دایره هاى عظیمى است که سطح کرات آنها را پدید آورده اند. نور به سبب میدان هاى گرانشى که بر اثر اجرام آسمانى پدید مى آید خط سیرى منحنى دارد. براساس نسبیت عام نور در راستاى کوتاه ترین خطوط بین نقاط حرکت مى کند اما گاهى این خطوط منحنى هستند چون حضور ماده موجب انحنا در مکان - زمان مى شود.

در مورد نظریه نسبیت عام

در نظریه نسبیت عام گرانش یک نیرو نیست بلکه نامى است که ما به اثر انحناى زمان _ مکان بر حرکت اشیا اطلاق مى کنیم. آزمون هاى عملى ثابت کردند که شالوده عالم نااقلیدسى است و شاید نظریه نسبیت عام بهترین راهنمایى باشد که ما با آن مى توانیم اشیا را مشاهده کنیم. اما مدافعین هندسه اقلیدسى معتقد بودند که به وسیله آزمایش نمى توان تصمیم گرفت که ساختار هندسى جهان اقلیدسى است یا نااقلیدسى. چون مى توان نیروهایى به سیستم مبتنى بر هندسه اقلیدسى اضافه کرد به طورى که شبیه اثرات ساختار نااقلیدسى باشد. نیروهایى که اندازه گیرى هاى ما از طول و زمان را چنان تغییر دهند که پدیده هایى سازگار با زمان - مکان خمیده به وجود آید. این نظریه به «قراردادگرایى» مشهور است که نخستین بار از طرف ریاضیدان و فیزیکدان فرانسوى «هنرى پوانکاره» ابراز شد. اما نظریه هایى که بدین طریق به دست مى آوریم ممکن است کاملاً جعلى و موقتى باشند. اما دلایل کافى براى رد آنها وجود دارد؟

علومی که از یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و تکمیل شد، از قرون یازدهم میلادی به بعد به اروپا منتقل شد، بیشتر شامل ریاضی و فلسفه ی طبیعی بود. فلسفه ی طبیعی توسط کوپرنیک، برونو، کپلر و گالیله به چالش کشیده شد و از آن میان فیزیک نیوتنی بیرون آمد. چون کلیسا خود را مدافع فلسفه طبیعی یونان می دانست و کنکاش در آن با خطرات زیادی همراه بود، اندیشمندان کنجکاو بیشتر به ریاضیات می پرداختند، زیرا کلیسا نسبت به آن حساسیت نشان نمی داد. بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیک از پیشرفت بیشتری برخوردار بود. یکی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود که آن هم در هندسه ی اقلیدسی خلاصه می شد.
در هندسه ی اقلیدسی یکسری مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف میشود و پنچ اصل به عنوان بدیهیات آن پذیرفته میشود و سایر قضایا با استفاده از این اصول استنتاج میشوند.

اصول

هندسه ی اقلیدسی بر اساس پنچ اصل موضوع زیر شکل گرفت

اصل اول - از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر کشید

اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد

اصل سوم - می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد

اصل چهارم - همه ی زوایای قائمه با هم مساوی اند

اصل پنجم - از یک نقطه خارج یک خط، یک خط و و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد.

ایراد اصل پنجم

اصل پنجم که به اصل توازی معروف است ایجاز سایر اصول را نداشت،جون به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود. در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا به یک اصل. بنابراین طبیعی بود که لزوم واقعی آن به عنوان یک اصل مورد سئوال قرار گیرد. زیرا چنین تصور می شد که شاید بتوان آن را به عنوان یک قضیه نه اصل از سایر اصول استخراج کرد، یا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرار داد

در طول تاریخ ریاضیدانان بسیاری از جمله، خواجه نصیرالدین طوسی، جان والیس، لژاندر، فورکوش بویوئی و ... تلاش کردند اصل پنجم اقلیدس را با استفاده از سایر اصول نتیجه بگیرنر و آن را به عنوان یک قضیه اثبات کنند. اما تمام تلاشها بی نتیجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همین اصل را در اثباط خود به کار می بردند. دلامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید

یانوش بویوئی یکی از ریاضیدانان جوانی بود که در این را تلاش می کرد. پدر وی نیز ریاضیدانی بود که سالها در این این مسیر تلاش کرده بود

و طی نامه ای به پسرش نوشت: تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش کنی، من پیچ و خم این راه را از اول تا آخر می شناسم. این شب بی پایان همه روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فرو برده است، التماس می کنم دانش موازیها را رها کنی
ولی یانوش جوان از اخطار پدر نهراسید، زیرا که اندیشه ی کاملاً تازه ای را در سر می پروراند. او فرض کرد نقیض اصل توازی اقلیدس، حکم بی معنی ای نیست. وی در سال 1823 پدرش را محرمانه در جریان کشف خود قرار داد و در سال 1831 اکتشافات خود را به صورت ضمیمه در کتاب تنتامن پدرش منتشر کرد و نسخه ای از آن را برای گاوس فرستاد. بعد معلوم شد که گائوس خود مستقلاً آن را کشف کرده است

بعدها مشخص شد که لباچفسکی در سال 1829 کشفیات خود را در باره هندسه نااقلیدسی در بولتن کازان، دو سال قبل از بوئی منتشر کرده است. و بدین ترتیب کشف هندسه های نااقلیدسی به نام بویوئی و لباچفسکی ثبت گردید.

پیوندهای خارجی

WWW.CPH-THEORY.COM

علومی که از یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و تکمیل شد، از قرون یازدهم میلادی به بعد به اروپا منتقل شد، بیشتر شامل ریاضی و فلسفه طبیعی بود. فلسفه ی طبیعی توسط کوپرنیک، برونو، کپلر و گالیله به چالش کشیده شد و از آن میان فیزیک نیوتنی بیرون آمد. چون کلیسا خود را مدافع فلسفه طبیعی یونان می دانست و کنکاش در آن با خطرات زیادی همراه بود، اندیشمندان کنجکاو بیشتر به ریاضیات می پرداختند، زیرا کلیسا نسبت به آن حساسیت نشان نمی داد. بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیک از پیشرفت بیشتری برخوردار بود. یکی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود که آن هم در هندسه اقلیدسی خلاصه می شد.

هندسه اقلیدسی شاخه ای از ریاضیات

در هندسه اقلیدسی یکسری مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بدیهیات پذیرفته بودند و سایر قضایا را با استفاده از این اصول استنتاج می کردند. اما اصل پنجم چندان بدیهی به نظر نمی رسید. بنابر اصل پنجم اقلیدس از یک نقطه خارج از یک خط، یک خط و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد. برخی از ریاضیدانان مدعی بودند که این اصل را می توان به عنوان یک قضیه ثابت کرد. در این راه بسیاری از ریاضیدانان تلاش زیادی کردند و نتیجه نگرفتند. خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات "اصل توازی" مبتکر مفهوم عمیقی در هندسه شد. در تلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره هایی را بیان کرد که کاملا مطابق گزاره هایی بود که چند قرن بعد توسط والیس و ساکری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار کرد. سرانجام و پس از دو هزار سال اصولی متفاوت با آن بیان کردند و هندسه های نااقلیدسی شکل گرفت. بدین ترتیب علاوه بر فلسفه ی طبیعی ریاضیات نیز از انحصار یونانی خارج و در مسیری جدید قرار گرفت و آزاد اندیشی در ریاضیات آغاز گردید.

اصطلاحات بنیادی ریاضیات

طی قرنهای متمادی ریاضیدانان اشیاء و موضوع های مورد مطلعه ی خود از قبیل نقطه و خط و عدد را همچون کمیت هایی در نظر می گرفتند که در نفس خویش وجود دارند. این موجودات همواره همه ی کوششهای را که برای تعریف و توصیف شایسته ی آنان انجام می شد را با شکست مواجه می ساختند. بتدریج این نکته بر ریاضیدانان قرن نوزدهم آشکار گردید که تعیین مفهوم این موجودات نمی تواند در داخل ریاضیات معنایی داشته باشد. حتی اگر اصولاً دارای معنایی باشند.
بنابراین، اینکه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم ریاضی نه قابل بحث است و نه احتیاجی به این بحث هست. براتراند راسل گفته بود که ریاضیات موضوعی است که در آن نه می دانیم از چه سخن می گوییم و نه می دانیم آنچه که می گوییم درست است.
دلیل آن این است که برخی از اصطلاحات اولیه نظیر نقطه، خط و صفحه تعریف نشده اند و ممکن است به جای آنها اصطلاحات دیگری بگذاریم بی آنکه در درستی نتایج تاثیری داشته باشد. مثلاً می توانیم به جای آنکه بگوییم دو نقطه فقط یک خط را مشخص می کند، می توانیم بگوییم دو آلفا یک بتا را مشخص می کند. با وجود تغییری که در اصطلاحات دادیم، باز هم اثبات همه ی قضایای ما معتبر خواهد ماند، زیرا که دلیل های درست به شکل نمودار بسته نیستند، بلکه فقط به اصول موضوع که وضع شده اند و قواعد منطق بستگی دارند.
بنابراین، ریاضیات تمرینی است کاملاً صوری برای استخراج برخی نتایج از بعضی مقدمات صوری. ریاضیات احکامی می سازند به صورت هرگاه چنین باشد، آنگاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتی از معنی فرضها یا راست بودن آنها نیست. این دیدگاه (صوریگرایی) با عقیده کهن تری که ریاضیات را حقیقت محض می پنداشت و کشف هندسه های نااقلیدسی بنای آن را درهم ریخت، جدایی اساسی دارد. این کشف اثر آزادی بخشی بر ریاضیدانان داشت.

 

اشکالات وارد بر هندسه اقلیدسی

هندسه اقلیدسی بر اساس پنچ اصل موضوع زیر شکل گرفت:

اصل اول - از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر کشید.
اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم - می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد.
اصل چهارم - همه ی زوایای قائمه با هم مساوی اند.
اصل پنجم - از یک نقطه خارج یک خط، یک خط و و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد.

اصل پنجم اقلیدس که ایجاز سایر اصول را نداشت، به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود. در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا به یک اصل!
بنابراین طبیعی بود که لزوم واقعی آن به عنوان یک اصل مورد سئوال قرار گیرد. زیرا چنین تصور می شد که شاید بتوان آن را به عنوان یک قضیه نه اصل از سایر اصول استخراج کرد، یا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرار داد.
در طول تاریخ ریاضیدانان بسیاری از جمله، خواجه نصیرالدین طوسی، جان والیس، لژاندر، فورکوش بویوئی و ... تلاش کردند اصل پنجم اقلیدس را با استفاده از سایر اصول نتیجه بگیرند و آن را به عنوان یک قضیه اثبات کنند. اما تمام تلاشها بی نتیجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همین اصل را در اثبات خود به کار می بردند. دلامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید.
یانوش بویوئی یکی از ریاضیدانان جوانی بود که در این را تلاش می کرد. پدر وی نیز ریاضیدانی بود که سالها در این این مسیر تلاش کرده بود .
و طی نامه ای به پسرش نوشت: تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش کنی، من پیچ و خم این راه را از اول تا آخر می شناسم. این شب بی پایان همه روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فرو برده است، التماس می کنم دانش موازی ها را رها کنی.
ولی یانوش جوان از اخطار پدیر نهرسید، زیرا که اندیشه ی کاملاً تازه ای را در سر می پروراند. او فرض کرد نقیض اصل توازی اقلیدس، حکم بی معنی ای نیست. وی در سال 1823 پدرش را محرمانه در جریان کشف خود قرار داد و در سال 1831 اکتشافات خود را به صورت ضمیمه در کتاب تنتامن پدرش منتشر کرد و نسخه ای از آن را برای گاوس فرستاد. بعد معلوم شد که گاوس خود مستقلاً آن را کشف کرده است.
بعدها مشخص شد که لباچفسکی در سال 1829 کشفیات خود را در باره هندسه نااقلیدسی در بولتن کازان، دو سال قبل از بوئی منتشر کرده است. و بدین ترتیب کشف هندسه های نااقلیدسی به نام بویوئی و لباچفسکی ثبت گردید.

هندسه های نا اقلیدسی

اساساً هندسه نااقلیدسی چیست؟ هر هندسه ای غیر از اقلیدسی را نا اقلیدسی می نامند. از این گونه هندسه ها تا به حال زیاد شناخته شده است. اختلاف بین هندسه های نااقلیدسی و اقلیدسی تنها در اصل توازی است. در هندسه اقلیدسی به ازای هر خط و هر نقطه نا واقع بر آن یک خط می توان موازی با آن رسم کرد.
نقیض این اصل را به دو صورت می توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازی که از یک نقطه نا واقع بر آن، می توان رسم کرد، بیش از یکی است. و یا اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. با توجه به این دو نقیض، هندسه های نا اقلیدسی را می توان به دو گروه تقسیم کرد:

یک - هندسه های هذلولوی

هندسه های هذلولوی توسط بویوئی و لباچفسکی بطور مستقل و همزمان کشف گردید.
اصل توازی هندسه هذلولوی - از یک خط و یک نقطه ی نا واقع بر آن بی شمار خط موازی با خط مفروض می توان رسم کرد.

دو - هندسه های بیضوی

در سال 1854 فریدریش برنهارد ریمان نشان داد که اگر نامتناهی بودن خط مستقیم کنار گذاشته شود و صرفاً بی کرانگی آن مورد پذیرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعدیل جزئی اصول موضوعه دیگر، هندسه سازگار نااقلیدسی دیگری را می توان به دست آورد. پس از این تغییرات اصل توازی هندسه بیضوی بصورت زیر ارائه گردید.
اصل توازی هندسه بیضوی - از یک نقطه ناواقع بر یک خط نمی توان خطی به موازات خط مفروض رسم کرد.
یعنی در هندسه بیضوی، خطوط موازی وجود ندارد. با تجسم سطح یک کره می توان سطحی شبیه سطح بیضوی در نظر گرفت. این سطح کروی را مشابه یک صفحه در نظر می گیرند. در اینجا خطوط با دایره های عظمیه کره نمایش داده می شوند. بنابراین خط ژئودزیک یا مساحتی در هندسه بیضوی بخشی از یک دایره عظیمه است.
در هندسه بیضوی مجموع زوایای یک مثلث بیشتر از 180 درجه است. در هندسه بیضوی با حرکت از یک نقطه و پیمودن یک خط مستقیم در آن صفحه، می توان به نقطه ی اول باز گشت. همچنین می توان دید که در هندسه بیضوی نسبت محیط یک دایره به قطر آن همواره کمتر از عدد پی است.

انحنای سطح یا انحنای گائوسی

اگر خط را راست فرض کنیم نه خمیده، چنانچه ناگزیر باشیم یک انحنای عددی k به خطی نسبت دهیم برای خط راست خواهیم داشت k=o انحنای یک دایره به شعاع r برابر است با k=1/r تعریف می کنند. همچنین منحنی هموار، منحنی است که مماس بر هر نقطه اش به بطور پیوسته تغییر کند. به عبارت دیگر منحنی هموار یعنی در تمام نقاطش مشتق پذیر باشد.
برای به دست آوردن انحنای یک منحنی در یک نقطه، دایره بوسان آنرا در آن نقطه رسم کرده، انحنای منحنی در آن نقطه برابر با انحنای دایره ی بوسان در آن نقطه است. دایره بوسان در یک نقطه از منحنی، دایره ای است که در آن نقطه با منحنی بیشترین تماس را دارد. توجه شود که برای خط راست شعاع دایره بوسان آن در هر نقطه واقع بر آن بینهایت است.
برای تعیین انحنای یک سطح در یک نقطه، دو خط متقاطع مساحتی در دو جهت اصلی در آن نقطه انتخاب کرده و انحنای این دو خط را در آن نقاط تعیین می کنیم. فرض کنیم انحنای این دو خط

باشند. آنگاه انحنای سطح در آن نقطه برابر است با حاصلضرب این دو انحنا، یعنی :

انحنای صفحه اقلیدسی صفر است. همچنین انحنای استوانه صفر است:

برای سطح هذلولوی همواره انحنای سطح منفی است :

برای سطح بیضوی همواره انحنا مثبت است :

در جدول زیر هر سه هندسه ها با یکدیگر مقایسه شده اند:

مفهوم و درک شهودی انحنای فضا

سئوال اساسی این است که کدام یک از این هندسه های اقلیدسی یا نااقلیدسی درست است؟

پاسخ صریح و روشن این است که باید انحنای یک سطح را تعیین کنیم تا مشخص شود کدام یک درست است. بهترین دانشی که می تواند در شناخت نوع هندسه یک سطح مورد استفاده و استناد قرار گیرد، فیزیک است. یک صفحه ی کاغذ بردارید و در روی آن دو خط متقاطع رسم کنید. سپس انحنای این خطوط را در آن نقطه تعیین کرده و با توجه به تعریف انحنای سطح حاصلضرب آن را به دست می آوریم. اگر مقدار انحنا برابر صفر شد، صفحه اقلیدسی است، اگر منفی شد می گوییم صفحه هذلولوی است و در صورتی که مثبت شود، ادعا می کنیم که صفحه بیضوی است .
در کارهای معمولی مهندسی نظیر ایجاد ساختمان یا ساختن یک سد بر روی رودخانه، انحنای سطح مورد نظر برابر صفر است، به همین دلیل در طول تاریخ مهندسین همواره از هندسه اقلیدسی استفاده کرده اند و با هیچگونه مشکلی هم مواجه نشدند. یا برای نقشه برداری از سطح یک کشور اصول هندسه ی اقلیدسی را بکار می برند و فراز و نشیب نقاط مختلف آن را مشخص می کنند. در این محاسبات ما می توانیم از خط کش هایی که در آزمایشگاه یا کارخانه ها ساخته می شود، استفاده کنیم. حال سئوال این است که اگر خط کش مورد استفاده ی ما تحت تاثیر شرایط محیطی قرار بگیرد چه باید کرد؟ اما می دانیم از هر ماده ای که برای ساختن خط کش استفاده کنیم، شرایط فیزیکی محیط بر روی آن اثر می گذارد. البته با توجه با تاثیر محیط بر روی خط کش ما تلاش می کنیم از بهترین ماده ی ممکن استفاده کنیم. بهمین دلیل چوب از لاستیک بهتر است و آهن بهتر از چوب است.
اما برای مصافتهای دور نظیر فواصل نجومی از چه خط کشی (متری) می توانیم استفاده کنیم؟ طبیعی است که در اینجا هیچ خط کشی وجود ندارد که بتوانیم با استفاده از آن فاصله ی بین زمین و ماه یا ستارگان را اندازه بگیریم. بنابراین باید به سایر امکاناتی توجه کنیم که در عمل قابل استفاده است. اما در اینجا چه امکاناتی داریم؟ بهترین ابزار شناخته شده امواج الکترومغناطیسی است. اگر مسیر نور در فضا خط مستقیم باشد، در اینصورت با جرت می توانیم ادعا کنیم که فضا اقلیدسی است. برای پی بردن به نوع انحنای فضا باید مسیر پرتو نوری را مورد بررسی قرار دهیم .
اما تجربه نشان می دهد که مسیر نور هنگام عبور از کنار ماده یعنی زمانی که از یک میدان گرانشی عبور می کند، خط مستقیم نیست، بلکه منحنی است. بنابراین فضای اطراف اجسام اقلیدسی نیست. به عبارت دیگر ساختار هندسی فضا نااقلیدسی است.

 

 

بیضی

بیضی مجموعه نقاطی از صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنها از دو نقطه ثابت واقع در صفحه مقدار ثابتی می باشد.

معادله بیضی

اگر دو نقطه ثابت به نام کانون ها، نقاط و باشند و مجموع فاصله ها، ، با نمایش داده شود، آنگاه مختصات نقطه ای چون واقع بر بیضی در معادله زیر صدق می کند :

 

برای ساده کردن این معادله، رادیکال دوم را به سمت راست معادله برده، رابطه حاصل را به توان دو می رسانیم و پس از ساده کردن داریم :

چون مجموع دو ضلع مثلث یعنی ، از ضلع سوم یعنی بزرگتر است، عبارت در مثبت است و ریشه دوم حقیقی مثبت دارد که با نمایش داده می شود، پس بصورت فشرده تر زیر در می آ ید :

معادله نشان می دهد که این خم نسبت به هر دو محور متقارن است و داخل مستطیلی با اضلاع ، ، و قرار دارد. نقاط تقاطع این خم با محورها عبارتند از : و . خم هر یک از محورها را با زاویه قطع می کند زیرا شیب در ، برابر با صفر و در ، برابر با بی نهایت است.
نشان داده ایم که مختصات در صدق می کنند هرگاه در شرط هندسی صدق کند. حال عکس این مطلب را ثابت می کنیم. فرض کنیم در با شرط صدق کند آنگاه :

اگر این مقدار را در رادیکال های زیر قرار دهیم داریم :

 

چون به بازه محدود می شود، مقدار بین قرار می گیرد و لذا هم مثبت است و هم ،چرا که هر دو بین هستند پس قدرمطلق های موجود در روابط فوق را می توان حذف کرد لذا :

با جمع کردن این دو می بینیم که مقدار به ازای هر موضع روی خم، برابر با است. پس ویژگی هندسی و معادله جبری فوق هم ارزند.

محورها

در معادله ، از کمتر است. قطر بزرگ بیضی پاره خط به طول بین نقاط تقاطع بیضی با محور ، ،است. قطر کوچک آن پاره خط به طول بین نقاط تقاطع بیضی با محور ، ، است. عدد را نصف طول قطر بزگ و عدد را نصف طول قطر کوچک می نامند.

معادلات متعارف بیضی هایی که مرکزشان است و اقطارشان با محورهای مختصات موازی اند

الف.

قطر بزرگ : افقی
کانون ها :
راس ها :
ب.

قطر بزرگ : قائم
کانون ها :
راس ها :
در هر حالت نصف قطر بزرگ و نصف قطر کوچک است.

خروج از مرکز

فرض کنیم معادله یک بیضی بصورت زیر داده شده باشد :

هر چند ، فاصله مرکز بیضی با هر یک از کانون ها، در این معاده به چشم نمی خورد ولی را می توان از معادله زیر به دست آورد :

اگر را ثابت نگه داریم و فاصله کانونی را در بازه تغییر دهیم،شکل بیضی های حاصل تغییر خواهد کرد. وقتی (یعنی ) این بیضی ها مستدیر هستند و وقتی به مقدار افزوده شود، بیضی کشیده تر می شود، تا اینکه در حالت نهایی ( ) بیضی به صورت پاره خط در می آید که دو کانون را به هم می پیوندد.
نسبت را خروج از مرکز بیضی می نامند. این عدد از صفر تا یک تغییر می کند و میزان اختلاف شکل بیضی با دایره را نشان می دهد.

گفتمش نقاش را نقشي بكش از زندگي با قلم نقش حْبابي بر لب دريا كشيد تا سگ نشوي كوچه و بازار نگردي هرگز نشوي گرگ بيابان حقيقت همه هست آرزويم كه ببينم از تو روئي چه شود تو را كه من هم برسم به آرزوئي فرق من و پروانه در اين بود كه در عشق پروانه پرش سوخت ولي من جگرم سوخت اگر مي بيني سر همسايه را مي تراشند و تو را گريزي نيست، لااقل سُرُت را خيس كن تا بريده نشود. از دل غمگين ليلي كعبه ي جان ساختند از غبار خاطره مجنون بيابان ساختند جايي كه نمك خوري نمكدان مشكن كار هر بْز نيست خرمن كوفتن گاو نَر مي خواهد و مُرد كهن ماهي را هر وقت از آب بگيري تازه است تيري كه رفت ديگر به شست بر نمي‌گردد. اگر براي ديگران «بميري» تازه برايت تب مي كنند يا مرغ باشد بپر، يا شتر باش ببر هر آنكس كه دندان دهد نان دهد خشت اول گر نَهُد مِعمار كَج تا ثريا مي رود ديوار كج همه چيز را همگان دانند. هر جا گلي هست خاري هم هست. رنج داشتن، از نداشتن بيشتر است. چه باك از موج آنان را، كه باشد نوح كشتيبان لذتي كه در بخشش هست در انتقام نيست. اول جايت را پيدا كن بعد پايت را بگذار. تيري به پهلو به از پيري به بر. اگر را با مگر چون جفت كردند از ايشان بچه اي شد «كاشكي» نام من نديدم در جهان جستجو هيچ خصلت بهتر از خُلق نكو سخت ترين مصائب، احتياج كريم به لئيم است. سخت ترين چيزها نزديكي به اَجُل و دوري از حْسن عمل است. طقاري بكشند ماستي بريزد جهان گردد به كام كاسه ليسان مرا به روز قيامت غمي كه هست اين است كه روي مردم دنيا دوباره بايد ديد. عمر مرغ بريان بر سر سفره‌ي بخيل پس از مرگ درازتر از عمر او پيش از مرگ است. از مايه ي دانش است آباد وطن اي مرد وطن پرست در دانش كوش انيسي براي قبرت، توشه اي براي سفرت و عْذري براي خدايت مهيا كن غم مرگ و اَلَم زيست بر او عرضه كنند وقت زادن سبب گريه ي اطفال اين است. سرچشمه ي هر فساد از ناداني است هر كس كه در آن غوطه ور افتد فاني است. بنده را آنچه خدا داده ز انواع نِعُم بهتر از ديده ي بينا و دل دانا نيست. خامْشي بُحر است و گفتن همچو جو بحر مي جويد ترا جو را مُجو به نان سازند مُردم رام، هر سگ را وليكن تو اگر خواهي كه گردد رام نفس سگ ، مُده نانش. حال متكلم از كلامش پيداست از كوزه برون همي تراود كه در اوست رفتم به سرتربت محمود غنّي گفتم كه چه بردي تو ز دنياي دُني گفتا كه دو زرع زمين و 7 زرع كفن گر خوب نظر كني تو هم مثل مني به غفلت تا به كي عمري چنين تنگ به منزل كي رسي پائي چنين لنگ هرگاه كار نيكي را شروع كردي آن را به پايان برسان گر بداني در عقبها چيستت فرصت خاريدن سر نيستت! تا تو رفتي ز كنارم به نظرها خوارم بشكند قيمت خاتم چو نگين برخيزد زن بود آتش تن دشمن دين آفت جان اژدها خسته و ناچيز بود از دم آن گر كُند قصد وفا هست وفايش چو ستم گر كند ميل جفا تيره كند وضع زمان رازي كه از ميان دو لب بگذرد فاش مي شود. آنقَدُر گرم است بازار مكافات عمل گر به دقّت بنگري هر روز، روز محشر است شخص متملق موذي، مار خوش خط و خال را ماند. دنيا زني است عشوه گر و دلستان همي با هيچ كس نبرده به سر عهد شوهري آبستني است كين همه فرزند زاده كُشت ديگر كه چشم دارد از او مهر مادري كلوخ انداز را پاداش سنگ است جواب است اي برادر اين، نه جنگ است با چون خودي درافكن اگر پنجه مي كني ما خود شكسته ايم چه خواهي شكست ما روزي به در ميكده ديدم مستي گفتم ز چه با اَلكُل و مِي پيوستي گفتا كه ز عقل وارهم خر بشوم گفتم به خدا غصه مخور «خر هستي» برو انس با خويشتن گير و بس مشو يار زنهار با هيچ كس كه هر كس بپيوست با غير خويش درون را به نيش ستم كرد ريش نيست در عالم بهشتي خوش تر از خَلَوت مرا دوزخي نَبًوُد بُتَر از گرمي صحبت مرا رسم عاشق نيست با يك دل دو دلبر داشتن يا ز جانان يا زجان بايست دل برداشتن همان بهتر كه بر فردا گذارم كار فردا را دل به هر چيز كه بستيم گرفتند از ما تا كه دل بسته نباشيم به جز مهر خدا از قرض بپرهيزيد كه غم شب و ذلت روز است به هست و نيست مرنجان ضمير و خوش مي باش كه نيستي است سرانجام هر كمال كه هست ديدي كه خون ناحقِ پروانه شمع را چندان امان نداد كه شب را سحر كند آن كس كه بداند و نداند كه بداند بيدار نمائيد كه در خواب نماند هر فكر به جز فكر خدا وسوسه است شرمي ز خدا بدار اين وسوسه چند مي كند پروانه ترك جان و مي سوزد درون تا نبيند شمع خود را مجلس آراي كسان چنگ درگفته ي قرآن و پيمبر زن و بس كانچه قرآن و خبر نيست فَنا است و هوس مخند اي نوجوان زينهار بر موي سفيد ما كه اين برف پرشيان بر سر هر بام مي بارد آنچه زخم زبان كند با مرد زخم شمشير جان ستان نكند عاشق سوخته دل تا به بيابان فنا نرود در حرم دل شنود خاص الخاص خواهي كه سربلند شوي خاكسار باش راهي جز آستان نبود صدر خانه را ترا به كنج لحد سالها ببايد خفت تن تو طعمه ي هر مور و مار خواهد بود ترا به تخته ي تابوت در كشند آخر گرت خزينه و لشگر هزار خواهد بود اگر تو در چمن روزگار همچو گلي دميده بر سر خاك تو خار خواهد بود نيازمندي ياران نداردت سودي مگر عمل كه تو را باز يار خواهد بود اي مْردگان ز خاك يكي سر به در كنيد بر حال زنده ي بتر از خود نظر كنيد من نه دوست خود را دوست دارم نه خويشِ خود را . من دوست دارم خويش را كه دوست باشد ساكنان سر كوي تو نباشند بهوش كان زميني است كه از وي همه مجنون خيزند غم زمانه خورم يا فراق ياركنم؟! هزار جهد بكردم كه سر عشق بپوشم نبود بر سر آتش ميسرم كه نَجوشم زنت را از صيحه و فرياد كشيدن نگه دار، و قسم دروغ ياد مكن تا فقير نشوي نماز خلق تسبيح و سجود است نماز عاشقان ترك وجود است مرد آزاده به گيتي نكند ميل سه كار تا همه عمر ز آفات سلامت باشد زن نگيرد اگرش دختر قيصر بدهند وام نستاند اگر وعده قيامت باشد نرود بهر طمع بر در ارباب كرم گر همه حاتم طائي به سخاوت باشد خدا زبان مردم را از خود كوتاه نكرده، چگونه انتظار داري از تو كوتاه دارد؟ شده ام به عشق تو مشهور و نيستم خوشحال كه هر كه مرا بيند ترا آورد به خيال هر مائده اي كه دست ساز فلك است يابي نمك است ، يا سراسر نمك است كم اگر گوئي سخن، حُرفَت به رغبت بشنوند هر قباعي كو فراوان شد، خريدارش كم است قياس امروز گير از حال فردا كه هست امروز تو فرداي ديروز منشين و سفر كن كه بغايت نيكوست بي زحمت پاگرد جهان گرديدن چرخ گفتا كه فروش اين زمن عمر به من گفتمش گوهر آنرا نفروشم به جهان پس به تدريج و حيل بي عوض از من بگرفت اي هزاران غم و اندوه ز كردكار جهان حيف كه اول چيزي كه از اين امت برداشته مي شود حيا و امانت است. گر آسايشي خواهي از روزگار جمال عزيزان غنيمت شمار زندگي بي دوست جان فرسودن است يك امروز است ما را نقد ايام بر آن هم اعتمادي نيست تا شام از بس كه شكستم و ببستم توبه فرياد همي كند ز دستم توبه ديروز به توبه اي شكستم ساغر امروز به ساغري شكستم توبه صد نامه نوشتم و جوابي ننوشتي زن بد در سراي مرد نكو هم در اين عالم است دوزخ او گفت از دل كُن روان صد چشمه‌ي خون در كنار تا مرا چون سرو بنشاني به بر،گفتم بچشم ديدي كه خون ناحق پروانه شمع را چندان امان نداد كه شب را سحر كند بعد صدسال اگر بر سر قبرم گذري كَفَني چاك دهم زندگي از سر گيرم احمق ترين احمقها آن كسي است كه شكم خود را از هر چه بيند پر كند عهد جواني گذشت در غم بود و نبود نوبت پيري رسيد صد غم ديگر فزود كاركنان سپهر بر سر دعوا شدند آنچه بدادند دير باز گرفتند زود گفته بودم كه بيايي غم دل با تو بگويم چه بگويم كه غم از دل برود چون تو بيايي تا منزل آدمي سراي دنياست كارش همه جرم و كار حق لطف و عطاست خوش باش كه آن سرا چنين خواهد بود سالي كه نكوست از بهارش پيداست هر كه چاهي كَنَد به راه كسي چاه خود كَنَد نه چاه كسي چاه مُكَن بهر كسي، اول خودت بعداً كسي در راه دوست صبر بود چاره ي بلا من با بلاي صبر شكن چون كنم كنون خال به زير لب يكي، طره ي مشك فام دو واي بحال مرغ دل، دانه يكي و دام دو دل به دنيا بستن عين جاهلي است عشق با ديوانه دور از عاقلي است چو يار رخت سفر بست من چكار كنم؟ وداع عمر كنم يا وداع يار كنم؟ بيستون ناله ي زارم چو شنيد از جا شد! گفت فرياد كه فرهاد دگر پيدا شد! نه عمر خضر بمانَد نه مْلك اسكندر نزاع بر سر دنياي دون مكن درويش مهري كه در ازل به دلِ من فِكَنده دوست مشكل كه تا ابد ز دل من به در شود دائم گل اين بستان شاداب نمي ماند درياب ضعيفان را در وقت توانائي بدنامي حيات دو روزي نبود بيش آن هم كليم با تو بگويم چه سان گذشت يك روز صرف بستن دل شد به اين و آن روز دگر به كندن دل زين و آن گذشت صبر و ظفر هر دو دوستان قديم اند بر اثر صبر نوبت ظفر آيد بيا بگوي كه پرويز از زمانه چه برد برو بپرس كه كسري به روزگار چه برد گر او گرفت ممالك به ديگري بگذاشت ور اين گرفت خزانه به ديگري بسپرد عاقبت منزل ما وادي خاموشان است هر كجا آب است آبادي بْوُد. زين بيش گريه را اثري بود در دلش چندان گريستم كه در آن هم اثر نماند جزاي حسن عمل بين كه روزگار هنوز خراب مي نكند بارگاه كسري را پيوند عمر بسته به موئي است هوش دار غم خوار خويش باش غم روزگار چيست يارب به گناهم اَر نسوزي چه شود؟ يك مشت ز خاكستر دوزخ كمتر گوش دو، اما زبان داري يكي بشنوي بسيار و گوئي اندكي دل مُنِه بر الفت دشمن كه تا گرم است آب گر چه مي جوشد به آتش، ليك با او دشمن است اين يك دو دُم كه دولت ديدار ممكن است درياب كام دل كه نه پيداست كار عمر آن مرغ كه جز در چمن آرام ندارد پيداست كه مسكين خبر از دام ندارد كافر نكند آنچه كند چشم تو با خلق اين ترك سپاهي مگر اسلام ندارد شدعمر تمام و نا تماميم هنوز در دوزخ حسرتيم و خاميم هنوز همه مسافر و دارم عجب ز طائفه اي كه بر كسي كه به منزل رسيد مي گريند. نه نشان قدمي ماند و نه بانگ جرسي يارب اين قافله كي بود و كجا منزل كرد؟ هر چند وقت كشته شدن دست و پا زدم يكبار دامن تو نيامد به چنگ من اي نور چشم من سخني هست گوش كن تا ساغرت پر است بنوشان و نوش كن پيران سخن به تجربه گفتند، گفتمت هان اي پسر كه «پير شوي» پند گوش كن گفتم كه نه وقت سفرت بود چنين زود گفتا كه مگر مصلحت وقت چنين بود توئي آن نقطه ي بالاي فاء «فوق ايديهم» كه در وقت تنزل تحت بسم ا... را بائي نيشها خوردم بُسي فرهاد وار تا رسيدم بر لب شيرينِ يار ياقوت نهم نام لب لعل تو يا قوت مر جان لبِ لعل تو مرجان مرا قوت تبه كردم جواني تا كنم خوش زندگاني را چه سود از زندگاني چون تبه كردم جواني را هيچ بيماري نگردد از پرستاري جدا . مپرس از شوردل و ز ناز شيرين كار من هرگز كه نالد بيستون گر بشنود افسانه ي ما را نگاهم با نگاهش گفت اسرار درون ورنه كه مي داد آگهي از حال دل جانانه ي ما را؟ محمل نشينان را چه غم باشد ز زخم غارها؟! اگر غير از حديث يار و جز ديدار او باشد چه حاصل جز ندامت از شنيدن ها و ديدن ها شور شيرين ز بس آراست ره جلوه گري همه فرهاد طراود زرگ و ريشه ي ها خال مشكين، لب نوشين، بُرِسيمين، خطِ سبز آنچه اسباب نكوئيست مهياست تو را چه شد آن غم گساريها، چه شد آن مهرباني ها چه شد آن مستي و آن شور و شوق و شادماني ها. قوت پروازم اي صياد چون سوي تو نيست آنقدر نالم كه سوي آشيان آرم ترا با رفيقان ريائي زندگي كردن خطاست شمع راه كس نمي گردند اين شبتابها صفائي نيست گلزار جواني را اگر در آن به دست شوق ننشاني نهال مهرباني را دل مي بري و روي نهان مكني چرا؟ خود مي كِشي مرا و فغان مي كني چرا؟ روزگاري رفت و عمري طي شد و گم كرده ايم در ديار بي نشاني روزگار خويش را كنون كز رعشه ي پيري به جامم مي نمي ماند چه حاصل گردهد دوران شراب كامراني را؟ دل سنگ از شرار ناله ي من آب مي گردد. به باد نيستي دادم غبار آرزوها را كه بگذارد دمي آرام، جان ناتوانم را نمي گيرد كسي جز غم سراغ خانه ي ما را آري آري، پادشه باشد گداي نيمه شب مگر در من نشان مرگ ظاهر شد كه مي بينم رفيقان را نهاني آستين بر چشم تر امشب؟! به دردت خو گرفتم نيستم در بند درمانت دستي كه در فراق تو هي كوفتم بسر باور نداشتم كه به گردن برآرمت زيبايي گلهاي جهان دير نپايد اي غنچه بزن خنده كه هنگام شباب است گفتمش چون طبع من قد تو موزون است گفت طبع موزون تو هم از قد موزون من است گفتم اي گل رسم و قانون نكويان چيست گفت بي وفائي رسم من بيداد، قانون من است چنانم كه از ضعف آهي را طاقت كشيدن ندارم و مي ترسم خلق پندارند كه از يار خرسندم. هر چيز بشكند ز بها اوفتد وليك دل را بُها و قدر بْود تا شكسته است هر كس به ملك صبر و قناعت نهاد پاي دست هزار گونه تمنا شكسته است دلم از نرگس بيمار تو بيمارتر است نازم به ناز كسي كه ننازد به ناز خويش ما را به ناز ناز فروشان نياز نيست داني كه نوبهار جواني چه سان گذشت؟ زود، آن چنان گذشت كه تير از كمان گذشت از خون بي گناه، مگر مي توان گذشت؟ خدايم: بچشمهاي سيه شيوه اي ز ناز آموخت كه هر كه خواست بدان شيوه دل دهد، جان داد چنان عشقم پسنديده است با مشكل پسنديها كه از خاكستر من طرح آتش خانه مي ريزد بنازم به بزم محبت كه آنجا گدائي به شاهي مقابل نشيند بنشستمش بدامن و دورم ز خويش كرد قدرم نگر كه پست تر از گرد راه بود  (عشق) عقل مجنون در كف ليلي نهاد جان وامق در لب عذرا نهاد بچشم زنده دلان خوشترست خلوت گور ز خانه اي كه در آن ميهمان نمي باشد خون عاشق ز دل خاك سيه مي جوشد ور نه دامان چمن اين همه گلرنگ نبود نمي دانم چرا گردون بكام من نمي گردد اگر عيبم پريشانيست، زلف يار هم دارد حيف باشد كه همه عمر به باطل برود به سرو گفت كسي ميوه اي نمي آوري جواب داد كه آزادگان تهي دستند. اگر از كسي رسيده است بدي به ما بماند به كسي مباد از ما كه بدي رسيده باشد قباي سلامت بدان رند بخشند كه از هستي خويش عريان نشيند هر آنكس فكندم جدا از عزيزان الهي به مرگ عزيزان نشيند ز بس فتاده به هر گوشه پاره هاي دلم فضاي دهر بدكان شيشه گرماند پيراهني از تار وفا دوخته بودم چون تاب جفاي تو نياورد كفن شد تو مُرد صحبت دل نيستي چه مي داني؟ كه سر به جيب كشيدن چه عالمي دارد؟ دردم نمي داند كسي بگذار تا مرگ كوشد به تسكينم مرا بگذار و بگذر معرفت نيست در اين قوم خدايا مددي. نبرده پاره ي تن پاره هاي جان طلبد عجوز دهر چو طفلان بهانه جوست هنوز! شمع را نيست به جز شعله آتش به زيان سخن عشق ز خاكستر پروانه بپرس حسن روي او نگر از روزگار ما مپرس! من بار سنگينم مرا بگذار و بگذر در اين روش كه توئي گر به مرده بر گذري عجب نباشد اگر نعره آيد از كَفَنَش به بستر افتم و مْردن كنم بهانه خويش بدين بهانه مگر آرُمُت به خانه ي خويش آنكه سر او، خاك شما گشت گر ننوازيد پا مزيندش. مْلك دل چو ويران گشت آبادش نتوان كرد ديگر بار. خوشا مرغي كه در كنج قفس، با ياد صيادش چنان خرسند بنشيند، كه پندارند آزاد است ز درد هجرانت جهاني را بسوزانم. بدنامي حيات دو روزي نبود بيش آن هم كليم، با تو بگويم چه سان گذشت يك روز صرف بستن دل شد به اين و آن روز دِگر به كندن دل زين و زان گذشت هرگز طرف مقابل خود را خر حساب نكنيد. دو دوست قدر شناسند عهد صحبت را كه مدتي ببريدند و باز پيوستند عشق، آخر دل ما را به سر كار گذاشت. قبله يعني حلقه چشم مستت ضريح اونه كه دست بزنم به دستت عيش فقيران سلطان ندارد ذوق يتيمان خواهان ندارد گاهي گر از مُلال محبت ِبرانمت دوري چنان مكن كه به شيون بِخوانمت. گل ياس علي نيلوفري شد رخ خورشيد او خاكستري شد آنقدر در كشتي عشقت نشينم تا سحر يا به ساحل مي رسم يا غرق دريا مي شوم اين جاهلان كه دعوي ارشاد مي كنند در فرقه شان به غير «منم» تحفه اي مياب هر چه بيشتر بدوي، كفشت زودتر پاره مي شود. نا رفيقان چون به يك رنگي دورنگي مي كنند از چه تفسير دو رنگي را زرنگي مي كنند؟! پس از اين گوش فلك نشنود آواز كسي كه من اين گوش فرياد و فغان كر كردم سنگ مفت ، گنجشك هم مفت، شانست رو امتحان كن. حمام گرفتن به اندازه چهار ساعت خواب در رفع خستگي مؤثر است. حسد ورزيدن علامت بارز بي لياقتي است. اعتقاد به بخت و قسمت ، بدترين نوع بردگي است. ز بس نا مردمي از چشم نرم مردمان ديدم اگر بر گل گذارم پا، ز زخم خار مي ترسم. دوست همه كس دوست هيچ كس نيست. زن خوب از سه كس اطاعت دارد : پدر، شوهر، فرزند سعادت از دو چيز بوجود مي آيد: صرفه جوئي، خوشبختي. مكن ز غصه شكايت كه در طريق ادب به راحتي نرسيد آنكه زحمتي نكشيد. مشو غافل ز گرديدن، كه روزي در قدم باشد همين آواز مي آيد ز سنگ آسيا بيرون گرت از دست برآيد دهني شيرين كن مردي آن نيست كه مشتي بزني بر دهني. مرد بزرگ دير وعده مي دهد اما زود عمل مي‌كند. گر بداني در عقبها چيستت فرصت خاريدن سر نيستت ز بس كه سرزده رفتي و آمدي اي فكر تو خانه‌ي دل ما كاروان سرا كردي! جواني يك اشتباه است. كهولت يك پيكار است. و پيري يك حسرت است. هميشه جيب كهنه ات را بو كن شكفته با همه بنشين و مهربان برخيز اساس عشق من و حسن يار محكم باد از آن بْرد گنج مرا دزد گيتي كه در خواب بودم گه پاسباني دنيا كيمه دام اجل گور مييب! رستم لرين بِلين مگر بورمييب! چوخلار گجه يا تيب سحر دور مييب! يه آسمون نقاشي، يك تكه نون خاشخاشي بسه براي ما اگه، تو هم كنار ما باشي ما يادگار عصمت غمگين اعصاريم. غم به مهماني چشمان تو عادت دارد. گر آنها كه مي گفتي كَردُمي نكو سيرت و پارسا بودُمي عمر زاهد به سر آمد ز تمناي بهشت بيچاره ندانست كه در ترك تمنّاست بهشت آنكه دائم هوس سوختن ما مي كرد كاش مي آمد و از دور تماشا مي كرد علم و ادب و هنر به ما چه!؟ قربون خوراك كله پاچه. محتاج تصديق ديگران مباش در اين كشوركسي خدمتگزار است كه دهقان است يا آموزگار است بي كماليهاي انسان از سخن پيدا شود پسته ي بي مغز گر لب واكند رسوا شود از زبان گل شنيدم بر سر بازارها هر كه با رسوا نشيند عاقبت رسوا شود به سرو گفت كسي كه ميوه اي نمي آري؟ جواب داد كه آزادگان تهي دستند به چشم زنده دلان خوشترست خلوت گور ز خانه اي كه در آن ميهمان نمي باشد صدايت گر چه خاموش است نگاهت همچنان گوياست بزرگترين شكل در زندگي انسان روبرو شدن با شخص نفهم است. حق و حقيقت گوئي يك دوست برايم باقي نگذاشت! مي رسد روزي كه بي ما روزها را سر كني مي رسد روزي كه مرگ دوست را باور كني مي رسد روزي كه تنها در كنار قبر من شعرهاي كهنه ام را مو به مو از بركني فلك را با من مسكين چه كين است؟ گناهم چيست با من اين چنين است؟ به جز مهر و وفا آئين من نيست دريغ آئين دنيا غير از اين است شيرم و جوي شغالان نبود آبخورم. نبايد زياد بالا و بلند پريد. بلاي جان من آن شوح و من افتاده در كويش دريغا خانه در كوي بلا كردم، ندانستم كه هر بيگانه باشد خوي او از آشنا بهتر به آن بيگانه خود را آشنا كردم، نداستم واقف از حال دل صيد گرفتار نشد آنكه افتاد به عشقي و گرفتار نشد اگرگفتم كه داند يار من آئين دلجوئي معاذ الله غلط كردم، خطا كردم، نداستم! كاش اين دل مرده را خدا جان مي داد آشفتگي ام را سر و سامان مي داد مادر كه زرنگ باشد ، فرزند (دختر) تنبل مي شود ما و موسي همسفر بوديم در سيناي عشق قسمت او «لَن تراني»، سهم ما ديدار شد علاجي بكن كز دلم خون نيايد سر شك از رْخَم پاك كردن چه حاصل ؟ برگ گل با آن لطافت آب از گِل مي خورد غصه ي ديوانه را انسان عاقل مي خورد فرق است ميان آنكه يارش دربر يا آنكه دو چشم انتظارش بر در. (سعدي) فواره چون بلند شود سرنگون شود! قدر بابا آن زمان داني كه خود بابا شوي كساني كه بد را پسنديده اند ندانم ز خوبي چه بد ديده اند؟ چون هم كاه از من و هم كاهدانم دليل اين همه خوردن ندانم (ايرج ميرزا) كسي كه منار مي دْزدد، اول چاهش را مي كَنَد. توان ابروي او از دور ديدن ولي نتوان كمان او كشيدن (كاتبي) كور شود دكان داري كه مشتري خود را نشناسد. كهن جامه ي خويش پيراستن به از جامه ي عاريت خواستن كوه لرزيد و غريد و يك بچه موش زائيد! گر به دولت برسي مست نگردي مردي باده پر خوردن و هوشيار نشستن سهل است تواضع ز گردن فرازان نكوست گدا گر تواضع كند كار اوست گاهي به ادا، گاهي به اصول گاهي به خدا، گاهي به رسول از مكافات عمل غافل مشو گندم از گندم برويد جو ز جو صدبار بدي كردي و ديدي ثمرش را نيكي چه بدي داشت كه يكبار نكردي؟ در زندگي سخت كار كن ولي زندگي را سخت نگير. در ديده عيان تو بودي و من غافل در سينه نمان تو بودي و من غافل از جمله جهان تو را عيان مي‌جستم خود جمله جهان تو بودي و من غافل خواست تا جلوه دهد صورت خود را معشوق خيمه بر معركه‌ي آب و گل آدم زد (خواجه) اي روي تو ماه عالم آرايِ همه وصل تو شب و روز تمناي همه گربادگران به از مني، واي به من گر با همه كس همچو مني واي همه (شيخ سيعد ابولخير) *آسمان شو، ابر شو، باران ببار آب اندر ناودان نايد به كار *هر كجا دل رو كند آخر بيابد سوي او قبله دلها كجا باشد به غير از كوي او راز بگشا، پرده بردار از رخ زيبايي خويش كز غم ديدار رويت ديده چون جيحون شود. آشنايان ره عشق در اين بحر عميق غرقه گشتند، بگشتند به آب آلوده همچو چنگم سر تسيلم و ارادت در پيش تو به هر ضرب كه خواهي بزن و بنوازم جهان بر آب نهادست و زندگي بر باد غلام همت آنم كه دل بر آن ننهاد وجود عاريتي خانه ايست بر ره سيل چراغ عمر نهادست بر دريچه باد يارب ز كرم دري به رويم بگشا راهي كه در او نجات باشد بنما مستغني ام از هر دو جهان كن به كَرم جز ياد تو هر چه هست، بُر از دل ما اي دوست قبولم كن و جانم بستان مستم كن و از هر دو جهانم بستان با هر چه دلم قرار گيرد، بي تو آتش به من اندر زن و آنم بستان يار در آغوش دل مي‌جوشد و دورم هنوز در تجلّي ساقي بزم است و مخمورم هنوز باده‌ي پيمانه زير لاله از جام من است كوچه گرد ريشه‌ي تا كي است انگور هنوز گردآوری و تنظیم : فریدون رحیمی کلیان

هر دم از روي تو نقشي زندم راه خيال تو چه داني كه در اين پرده چه ها مي بينم پس حكيمان گفته اند اين لحنها از دوار چرخ بگرفتيم ما بانگ گردشي هاي چرخ است اين كه خلق مي سرايندش به و به حلق مؤمنان گويند كاتاد بهشت نغز گردانيد هر آواز زشت ما همه اجزاي آدم بوده ايم در بهشت آن لحنها بشنوده ايم گرچه بر ما ريخت آب و گل شكي يادمان آمد از آنها چيزكي پس غزاي عاشقان آمد سماع كه درد باشد خيال اجتماع آتش عشق از نواها گشت تيز آن چنان كه آتشي آن جوزريز دمدمه ي اين ناي از دقهاي اوست هاي و هوي روح از هيهاي اوست ما چو ناييم و نوا در ما ز تست ما چو كوهيم و صدا در ما ز تست گل در بهاران از آن رخ گلگون نمونه ايست چون اشك من كه از دل پرخون نمونه ايست اي قلم تيزكن زبان بيان بهر محمد خواي هر دو جهان آن خوايي كه آفريده قلم زان قلم حرف صنع كرده رقم ورد خود كن قناعت و طاعت بي طهارت مباش يك ساعت حيله و مكر را شعار مكن صفت ناخوش اختيار مكن هركه از مكر و حيله و تلبيس پاك گرديد ، گشت پاك نويس داند آن كس كه آشناي دلست كه صفاي خط از صفاي دلست خط نوشتن شعار پاكان است هرزه گشتن شعار نادان است چون كه خط روي در ترقي كرد نشين گوشه اي و هرزه مگرد مختصر نسخه اي به دست آور به خط خوب دار پيش نظر پس از آن مي نويسي سطري چند خودپسندي به خويشتن مپسند هم نشين اهل معني باش تا هم عطا يابي و هم باشي فنا جان بي معني در اين تن بي خلاف هست همچون تيغ چو بين در غلاف  عشق آمد و شد چو خونم اندر رگ و پوست تا كرد مرا تهي و پر كرد ز دوست اجزاي وجودم همگي دوست گرفت نامي ست ز من بر من و باقي همه اوست حاصل عشق را به اشك گرم و آه سرد و روي زرد و سوز دل ديدم خزان عمر به زردي رساند رنگ رخم ببار بر سرم اي ابر نوبهاري اشك جز تو اي عشق كه از هر دو زبان باخبري كسي آگاه نباشد به زبان من و دل وفا نديده ام از هيچكس؛ چرا نروم؟ شاهين آسمان وفايم ولي چه سود دانم كه روي بام تو بيجا نشسته ام نامراديهايمان همان بس كه بر مراد خلق دائم زندگي كرديم. براي گفتن با دوست شكوه ها بدلم بود ولي دريغ كه در روزگار، دوست نديدم ساده دل من،كه قسمتهاي تو باور كردم ! در و ديوار به حال دال من زار گريست هر كجا ناله ي ناكامي خود سر كردم شَرمُم كُشد، كه بي تو نفس مي كشم هنوز ! كنون كه ما همه بازيچگان تقديريم بيا به نيك و بد روزگار خنده زنيم تا تواني به جهان خدمت محتاجان كن به دمي يا دِرُمي يا قَلَمي يا قدمي اي دريغ ، امروز چون ديروز نيست! آدم زيرك دوبار از يك سوراخ گزيده نمي شود. باور نداشتم كه چنين واگذاريم. گرچه درويشم به گنج منعمان حاجت ندارم . اشكم ولي بپاي عزيزان چكيدام . موي سپيد را فلكم رايگان نداد اين رشته را به نقد جواني خريده ام من كه ملول گشتمي از نفس فرشتگان قال و مقال عالمي مي كشم از براي تو بي جرعه ي مي كسي بجايي نرسد تا خون نشود دلي به كامي نرسد از گلشن حكمت و گلستان وفاش هر بو كه دمد به هر مشامي نرسد زمين را گر شوي صاحب،طمع بر آسمان داري دم مردن نمي داني ؟ نه اين داري نه آن داري آدم وقتي فقير ميشه، خوبيهايش هم حقير ميشه . دست زن بر دامن مولي علي شاه نجف منتي گر مي كشي از مرد مي بايد كشيد عيب از ديده ي ما بود كه بد مي ديديم ورنه او هر چه پسنديد به ما زيبا بود خواست رسوا نكند بنده ي خود را ورنه مْشت ما پيش وي از لحظه اول وا بود من آن ليلي كه مجنون را بگرياند نمي خواهم كه شب با ديگران گيسو بِجْنباند نمي خواهم عشقها افسانه شد ويران شوي اي زندگي خون من پيمانه شد ويران شوي اي زندگي هر كه را همدم گزيدم تا كه دُردُم بِشنوُد از غمم بيگانه شد ويران شوي اي زندگي در ديار آرزو با هم مكاني داشتيم آن مكان ويرانه شد ويران شوي اي زندگي عشق اگر روز ازل در دل ديوانه نبود تا ابد زير فلك ناله ي مستانه نبود چون مرا گردد ميسر روز عفو و انتقام دوست ميدارم كه از دشمن خطا پوشي كنم دلم از اين خرابيها بود خوش چونكه ميدانم خرابي چونكه از حد بگذرد آباد مي گردد ز شوخي بپرهيز اي با خرد كه شوخي تو را آبرو مي برد خنده ي خورشيد را هر صبح داني چيست راز گويد از عمرت گذشت اي بيخبر روزي دگر اگر شراب خوري جرعه اي فشان بر خاك از آن گناه كه نَفعي رسد به غير چه باك مرد آن است كه گيرد اندر گوش ور نوشته باشد پند بر ديوار ناز نينا به ما ناز تو جواني داده ايم ديگر اكنون با جوانان ناز كن با ما چرا ؟ خدا همه چيز را يكباره نمي دهد و همه چيز را هم يكباره نمي گيرد. بنازم سر چرخ فيروز را پريروز و ديروز و امروز را پيوستگي براي زنجير يك قانون است . بعد از مرگ كلي وقت داريم كه بخوابيم، پس كمتر بخوابيم . مُرد سيرت را به صورت كار نيست جامه گر صد وصله دارد عار نيست صد هزاران طفل سر ببريده شد تا كليم‌ا... سالم ديده شد افسرده دل افسرده كند انجمني را . رشته اي بر گردنت افكنده دوست مي كشد هر جا كه خاطرخواه اوست همت بلند دار كه مردان روزگار با همت بلند به جايي رسيده اند آنقدر گرم است بازار مكافات عُمُل ديده گر بينا بود هر روز، روز محشر است آب دريا را اگر نتوان كشيد پس به قدر تشنگي بايد چشيد عشق چون شود كهنه ،معتبر شود عاشق دوست چون قديمي شد، حْرمُتَت نگه دارد ترسم كه بريزم به رهت اشك و شوم كور روزي تو بيايي و نگاهت نَتَوانم من نمي گويم سُمُندر باش يا پروانه باش گر به فكر سوختن افتاده اي مردانه باش گر شبي در خانه ي جانانه مهمانت كنند گول نعمت را مخور، مشغول صاحبخانه باش ماهي از سر بگندد ني ز دم فتنه از عمامه خيزد ني ز خم سختي كشي ز دهر چو سختي دهي به خلق در كيفر فلك، غلط و اشتباه نيست ديشب كه من و او مي گلگون زده بوديم بر لشكر اندوه شبيخون زده بوديم حد مي خورد آن كس كه خورد باده، ولي ما رستيم ز حد چون ز حد افزون زده بوديم كساني كه از عشق دم مي زنند چرا بين ما را به هم مي زنند چي ميشه اگر دوباره، هموني كه بودي باشي . آزياشا ، انسان ياشا. اي بي خبر از سوخته و سوختني عشق آمُدُني بْود نه آموختني هر آنكس كه در كيسه اش زَر بود كلامش متين است اگر خَر بود. بيگمان دست در آغوش نِگارُش ببرند هر كه يك بوسه سِتاند ز لب يار كسي. ز بودن چاره اي نيست چو من آواره اي نيست براي كودك عشق چرا گهواره اي نيست ؟ از عبادت ني توان الله شد مي توان موسي كليم الله شد ز ضعف طاقت آهم نماند و ترسم خلق گمان برند كه سعدي ز دوست خرسند است . زن را از مادرش و اسب را از يالش مي شناسند. مْرديم دور از روي تو ، در خانه ماني تا به كي ؟سنگي بزن ، تيغي بكش، چيزي بگو، كاري بكن سر بِيت قصيده جواني عشق است سر دفتر عالَم معاني عشق است اي آنكه خبر نداري از عالم عشق اين نكته بدان كه زندگاني عشق است برده دل من ، من از تو آن ميخواهم وز گمشده ي خويش نشان ميخواهم سر مصرع هر بيت اگر برداري هر آنچه كه شد من از تو آن ميخواهم زندگي قصه ي تلخي است كه از آغازش بسكه آزرده شدم، چشم به پايان دارم گر قناعت پيشه هستي 4 زن عقدي بس است ور طمع كاري به صيغه هر چه بتواني بگير دل به بازار من آورده و بفروخته اي دل بفروخته مفروش به بازار كسي بچشم زنده دلان خوشتر است خلوت گور ز خانه اي كه در آن ميهمان نمي باشد گنه کرد در بلخ آهنگري به شوشتر زدند گردن مسگری ! نااميدانه زَدُم تكيه به ديوار ز حسرت رنج حرمان نكشيدي كه بداني چه كشيدم ؟ به بهارم نرسيدي به خزانم بنگر كه به مريم اثر از برف زمستان من است دامن كشان ز ديده ي ما ميروي به ناز اما به دوستي قسم از دل نميروي با سرگراني از بر من مي روي ولي دانم ز حال غمزده غافل نميروي بود سوزي در آهنگم خدايا تو مي داني كه دلتنگم خدايا دگر تاب پريشاني ندارم نه از آهن نه از سنگم خدايا مرا عشق حسين ديوانه كرده به دور شمع خود پروانه كرده تاك را سيراب كن اي ابر نسيان در بهار قطره تا مِي مي تواند شد، چرا گوهر شود ترا حق مي دهم اي غم، كه دست از من نمي داري كه با كمتر كسي اينسان دل غم پروري داري گرچه ديدم در رهت دام بلا واي بر من گر نمي ديدم تُرا تو را چو غنچه بود خنده در دهان بي من مرا چو لاله بود داغ بر جگر بي تو دنيا را نگهداريد مي خواهم پياده شوم . مرحم زخم درونم جز شكر خند تو نيست دُردُم از اين بيشتر بادا كه دُرمانم تويي خوابم شِكست و مُردم چشمم بخون نشست تا فتنه ي خيال تو برخاست در دلم كاش بودم چون كتاب اُفتاده در كُنجي قريب تا نَگردد روبرو جز مُردم دانا مرا كنون گوش كن، كه آب از كمر درگذشت نه وقتي كه سيلابت از سرگذشت گاه به سخن گفتن از دردها نيازي نيست . دوست آن باشد كه گيرد دست دوست در پريشان حالي و درماندگي يا رب مپسند كه لوطيان خوار شوند. جور استاد به از مهر پدر. گيرم پدر تو بود فاضل از فضل پدر تو را چه حاصل؟! ز هوشياران عالم هر كه را ديدم غمي دارد دلا ديوانه شو ديوانگي هم عالمي دارد اين قافله عمر عجب مي گذرد درياب دُمي كه با طَرُب مي گذرد چنان شادم كه از شادي به حال ديشبم گريم. الهي در شب فقرم بسوزان ولي محتاج نامردان مگردان بي تو در خلوت تنهايي ماه گل نيلوفر من رشد نكرد مادر: دستهايت همه لبريز صفاست خنده هايت همه بيرنگ و رياست از كجا آمده اي و به كجا مي روي ؟ اگر نالان و تنهايم مرا زين درد پُروا نيست كه يك دنيا محبت درتو پيدا مي كنم هر شب بعدها مي خواهم، به ملاقات صداقت بروم، عمر كوتاهُم اگر بگذارد. اسرار خود به ديگران مگو و اسرار ديگران نگهدار. در خُردي و جواني، جهل و غرور و مُستي پيري رسيد و سستي ،پس كي خداپرستي ؟ دلم يك صَخره مي جويد كه يِكدم لنگر اندازد. ورودت بر هزاران عاشق چشم انتظارت زندگي بخشيد. كلوخ انداز را پاداش سنگ است جوابست اي بردار اين، نه جنگ است حيف از كسي كه رنج كشد پاي ناكسي حيف از طلا كه خرج مطلا كُند كسي نصيبم گشته چندان تلخ كامي بعد هر كامي كه ممنونم ز گردون گر به كام من نمي گردد سر را به زمين چو مينَهي بُهر نماز آن را به زمين بنه، كه در سر داري گفته اند از پيش پيران جهان در نگيرد صحبت پير و جوان پشه از فيل كم زيد بسيار آنكه كوته بود بقاء ، خونخوار گر كشد خصم به زور از كف من دامن دوست چه كند با كشش دل كه ميان من و اوست گويند نقش نگين انوشيروان اين بود. 1- راه بسيار تاريك است مرا چه بينش؟ 2- عمر دوباره نيست مرا چه خواهش ؟ 3- و مرگ در قفاست مرا چه آرامش؟ آدم و حوا چون به دنيا آمدند،40 صباح از بوي گند دنيا بيهوش بودند . اگر را با مگر چون جفت كردند از ايشان بچه اي شد كاشكي نام آنچه شيران را كُند روبُه مزاج احتياج است احتياج است احتياج عمر خواهي كه شود طولاني بِكُن امساك ز شهوتراني هر مائده اي كه دست پخت فلك است يا بي نمك است يا سراسر نمك است! هركس را سرمايه است؛ و سرمايه دلال دروغ است. نيامده ايم كه بخوريم تا بمانيم . علي(ع) در سحر شب 20 رمضان رو به خورشيد گفت : اولين بار است كه پيش از علي برخاسته و او را در بستر مي بيني . محبت انسان را به سوي مشابهت سوق مي دهد.(تقليد) حسيني كه پناه كائنات است ندارد جز خدا پشت و پناهي (عاشورا) عقل به ماندن مي خواند و عشق به رفتن . زندگي شستن يك بشقاب است ، زندگي گل به توان ابديت. شب رفت ، پروانه سوخت و شمع مْرد بيچاره كسي كه هيچ از اين روز نبرد زندگي به دو نيم است: نيمه اول در انتظار نيمه ي دوم و نيمه ي دوم در حسرت نيمه ي اول. كوي جانان را كه صد كوه و بيابان در رهست رفتم از راه دل و ديدم كه ره يك گام بود. • خدايا: جز حضرت تو ندارد اين بيكس ، كس . كي روا باشد كه گردد عاشق غمخوار خوار در ره عشق تو اندركوچه و بازار زار دل به اين دنيا مبندكاين خاكدام هيچ است هيچ پاي بر سر نه جهان هيچ است هيچ دنيا سن كيه طاليلسان ؟ در سيني كيمدن آليبسان ؟ نچه مين يول بوشا ليبسان نچه من يول دولان دنيا ؟ در خوابگه جهان من شيدايي چشمي بگشودم از پي بينايي ديدم كه در آن نبود بيدار كسي من نيز بخواب رفتم از تنهايي ديگ به ديگ ميگه روت سياه . نه مرد است آنكه دنيا دوست دارد اگر دارد براي دوست دارد آنكس كه نداند و نداند كه نداند در جهل مركب، ابدالدهر بماند اي كاش كه معشوق ز عاشق طلب جان مي كرد تا كه هر بي سرو پايي نشود يار كسي جان چه باشد كه خداي قدم دوست كنم اين متاعي است كه هر بي سرو پايي دارد ربودي دفتر دل را و افسوس كه سطري هم از اين دفتر نخواندي! برگوش اُلاغان تو مُخوان سوره ي ياسين حيوان زبان بسته كه آدم شدني نيست! بيتا تا قصه غم را و شب را اگر خوابت نمي آيد بگويم. اول به هزار لطف بنواخت مرا آخر به هزار غصه بگداخت مرا نفس سركش كم كم به كُشتن برادر فرمان مي دهد . عادت كنيد كه به چيزي عادت نكنيد. هر كه تو بيني نه همه آدمند اكثرشان گاو و خر بي دْمند خرم آنروز كزين منزل ويران برويم. حرمت همسايه به همسايه مانند حرمت مادر است . دنيا قالمياجاق هچ بيرانسانا. نگار من كه به مكتب نرفت و خط ننوشت به غمزه مسئله آموز صد مدرس شد آدم مؤمن تا پايش برگردد(بپيچد) مي فهمد از كجا و چرا اين گونه شد. در زمستان جدايي روز و شب گويم به خويش ياد ايامي كه با هم نوبهاري داشتيم متاع كفر و دين بي مشتري نيست گروهي اين، گروهي آن پسندند دلم اين كودك بيمار، پرستار ندارد . اي كه از كوچه ي تنهايي ما مي گذري گوش كن ناله ما از سر ديوار گذشت مال مردم مي خوري و چون مالت خورند گويي كه مسلماني نيست؟ كودكان عروسك را، جوانان عروس را و بزرگان مولا را دوست دارند . شعاع مرا در عذاب ضرب كنيد ، تا مساحت درد مرا حساب كنيد. لبخند فقرا از گوشه لبها تجاوز نمي كند. ياقماسادا، گُرولر من ندانم چه ندا داده به صحرا مجنون كه صداي جُرُس قافله ليلا ليلاست! گر به دولت برسي مست نگردي مردي باده پر خوردن و هوشيار نشستن سهل است تواضع ز گردن فرازان نكوست گدا گر تواضع كند كار اوست گاهي به ادا، گاهي به اصول گاهي به خدا، گاهي به رسول از مكافات عمل غافل مشو گندم از گندم برويد جو ز جو صدبار بدي كردي و ديدي ثمرش را نيكي چه بدي داشت كه يكبار نكردي؟ در زندگي سخت كار كن ولي زندگي را سخت نگير. در ديده عيان تو بودي و من غافل در سينه نمان تو بودي و من غافل از جمله جهان تو را عيان مي‌جستم خود جمله جهان تو بودي و من غافل خواست تا جلوه دهد صورت خود را معشوق خيمه بر معركه‌ي آب و گل آدم زد (خواجه) اي روي تو ماه عالم آرايِ همه وصل تو شب و روز تمناي همه گربادگران به از مني، واي به من گر با همه كس همچو مني واي همه (شيخ سيعد ابولخير) *آسمان شو، ابر شو، باران ببار آب اندر ناودان نايد به كار *هر كجا دل رو كند آخر بيابد سوي او قبله دلها كجا باشد به غير از كوي او راز بگشا، پرده بردار از رخ زيبايي خويش كز غم ديدار رويت ديده چون جيحون شود. آشنايان ره عشق در اين بحر عميق غرقه گشتند، بگشتند به آب آلوده همچو چنگم سر تسيلم و ارادت در پيش تو به هر ضرب كه خواهي بزن و بنوازم جهان بر آب نهادست و زندگي بر باد غلام همت آنم كه دل بر آن ننهاد وجود عاريتي خانه ايست بر ره سيل چراغ عمر نهادست بر دريچه باد يارب ز كرم دري به رويم بگشا راهي كه در او نجات باشد بنما مستغني ام از هر دو جهان كن به كَرم جز ياد تو هر چه هست، بُر از دل ما اي دوست قبولم كن و جانم بستان مستم كن و از هر دو جهانم بستان با هر چه دلم قرار گيرد، بي تو آتش به من اندر زن و آنم بستان يار در آغوش دل مي‌جوشد و دورم هنوز در تجلّي ساقي بزم است و مخمورم هنوز باده‌ي پيمانه زير لاله از جام من است كوچه گرد ريشه‌ي تا كي است انگور هنوز گردآوری و تنظیم : فریدون رحیمی کلیان

  باز هم خواب ریاضی دیده ام                     خواب خطهای موازی دیده ام 

خواب دیدم می خوانم ایگرگ زگوند            خنجر دیفرانسیل هم گشته کند

از سرهر جایگشتی می پرم                     دامن هر اتحادی میدرم  

دست و پای بازه ها را بسته ام                 از کمند منحنی ها رسته ام

شیب هر خط را به تندی می دوم              گوش هر ایگرگ وشی رامی جوم

گاه در زندان قدر مطلقم                           گاه اسیر زلف حد و مشتقم 

گاه خطها را موازی میکنم                         با توانها نقطه بازی می کنم

لشگری تمریندارم بی شمار                     تیمی از فرمول دارم در کنار

ناگهان دیدم توابع مرده اند                       پاره خط نقطه ها پژمرده اند 

کاروان جذر ها کوچیده است                    استخوان کسر ها پوسیده است

از لگ و بسط و نپر آثار نیست                   رد و پایی از خط و بردار نیست

هیچکس رازین مصیبت غم نبود               صفر صفرم هم دگر مبهم نبود

آری آری خواب افسون می کند                 عقده را از سینه بیرون می کند 

مردم ازاین ایکس و ایگرگ داد داد              روزهای بی ریاضی یاد باد

از زیبایی ها و شگفتی های ریاضی سخن گفتن آسان است اما درک آن متاسفانه برای همه کس آسان نیست. زیبایی های صوری را همه می بینند و همه هم تقریبا" بیک اندازه از آنها لذت می برند. اگر منظره ای یا صورتی یا تابلویی در نظر شما زیبا باشد، همان منظره، صورت یا تابلو در نظر دیگران هم کم و بیش به همان اندازه زیبا خواهد بود و دیگران هم از آنها تقریبا" به همان اندازه که شما لذت میبرید، لذت خواهند برد. اما زیباییهای ذهنی و لذت بردن از آنها مستلزم داشتن زمینه ی ذهنی مناسب است. بعنوان مثال، عرفان و فلسفه عرصه هایی از اندیشه بشری هستند که کاملا" ذهنی اند. اگر کسی بخواهد این رشته ها را درک کند و آنچه که فلاسفه و عرفا و رهروان این طرق زیبایی نامیده اند را ببیند و احساس کند راهی ندارد جز آنکه الفباء این عرصه های تفکر را بیاموزد و از  "هفت شهر" آنها بگذرد و مراحل و مراتب آنها را طی کند تا زمینه های لازم را برای ذهن خود بمنظور درک آن زیبایی ها فراهم نماید و از این راه به شناخت و لذت برسد.

 

ریاضییات نیز که محصول مستقیم نبوغ بشر است عرصه ای است ذهنی و از قاعده فوق مستثنا نیست. برای آنکه بتوان زیبایی های آنرا دید و شگفتی ها و عظمت قدرت آنرا در تشخیص و کشف حقیقت و حل مسائل درک کرد باید الفباء آنرا آموخت، اصول آنرا فرا گرفت و با تمرین و ممارست، روزگاری با آنها مانوس بود تا از این راه به درجاتی از شناخت رسید و لذت همنشینی با آنرا احساس کرد. ریاضیات البته عرصه های عملی هم فراوان دارد که مشاهده آثار آنها رضایت مندی و لذتی از نوع دیگر را در انسان ایجاد میکند.  

 

در ریاضیات شش عدد وجود دارند که از بقیه ی اعداد متمایزند زیرا آنها ویژگی هایی دارند که سایر اعداد ندارند. این اعداد عبارتند از : صفر، یک، پی(نسبت محیط دایره به قطر آن)، e  (عدد اویلر)،i   (مبنای اعداد مختلط) و فای(نسبت طلایی). اویلر ریاضیدان سویسی قرن هجدهم رابطه ای بین پنج تا از این اعداد را بصورت این معادله کشف کرد:                     

                                                   

 اگر این معادله را در یک قاب عکس قرار داده و روی دیوار و در کنار تابلوی مونالیزا نصب کنید، در چشم یک ریاضیدان نه تنها هیچ از مونالیزا کم ندارد بلکه میتواند بسیار شگفت انگیز تر هم باشد. مونالیزا را تقریبا" هر کسی به اندازه فهمی که از هنر نقاشی دارد درک میکند و بدیهی است هر چه این فهم عمیق تر و فنی تر باشد، درک هم عمیق تر خواهد بود. اما زیبایی و شگفتی این معادله را تنها کسی میفهمد که با اعداد الفت دراز داشته و بویژه این پنج عدد را شناخته و چگونگی خلقت آنها را فهمیده باشد و بداند که هر چند آنها به ظاهر نزدیک هم اند اما ماهیت آنها به اندازه کهکشانها از یکدیگر دور است ولی وقتی استادانه در کنار هم قرار میگیرند چنان با شوق با یکدیگر می جوشند که تعادلی متقارن و بس زیبا و بدیع بوجود می اورند. تازه این معادله خود حالت خاصی از یک معادله کلی تر، زیبا تر و شگفت انگیز تری است که پای دو نسبت مثلثاتی اصلی را هم به میان میکشد :

 

                              

                                    

                                                        ***************              

                                                                                                                       

 

از این  "تابلو ها" که هر کدام حاصل نبوغ یک ریاضیدان است در دنیای بزرگ ریاضیات فراوان یافت میشود. تقریبا" دو هزار سال پیش  "هارون"  ریاضیدان ، مهندس و مساح رمین های زراعتی در مصر باستان فرمولی کشف کرد که مساحت مثلث را از روی طولهای سه ضلع آن به دست میدهد. اگر طول اضلاع مثلثی را به  a   و  b  و  c  و نصف محیط آنرا به  p   نشان دهیم، آنگاه مساحت مثلث،  A ، از روی فرمول هارون محاسبه میشود :

 

                                                

     

                          

تقریبا" ششصد سال پس از هارون مصری، براهماگوپتای هندی فرمول مشابهی برای چهار ضلعی محاطی کشف کرد. اگر طول اضلاع یک چهار ضلعی محاطی را به  a   ،   b   ،  c   و  d    و نصف محیط آنرا به p     نشان دهیم، آنگاه مساحت چهار ضلعی،   A   ، از روی فرمول براهماگوپتا محاسبه میشود:

                                       

                                                                                   

     

آیا این فرمولها را با اینهمه سادگی شکل و تقارن جز زیبا چیز دیگری میتوان نامید؟  

               

 

                                                       *************                  

                  

عدد   پی   بدون تردید یکی از مهمترین و اسرار آمیز ترین اعداد ریاضی است. محققین بسیاری در گوشه و کنار جهان از زمان باستان تا به امروز (و بویژه در سالهای اخیر پس از پیدایش کامپیوتر) میلیونها ساعت از وقت خود را صرف مطالعه این عدد اسرارآمیز کرده اند و هر چه بیشتر در باره اش تحقیق میکنند و بیشتر میفهمند، به پیچیدگی و اسرارامیز بودن آن بیشتر افزوده میشود. بیش از 200 بیلیون از ارقام بعد از ممیز آنرا کشف کرده اند اما هرگز انظباطی در ترتیب آنها مشاهده نشده است. چرا ریاضیات که سراسر انظباط است گاهی این چنین بی انظباط میشود که در بیش از 200 بیلیون رقم هم هیچ ترتیبی مشاهده نمیشود؟ تازگی ها محققینی که در باره عدد پی  تحقیق میکنند، به فکر افتاده اند که ممکن است بتوانند گروههایی از ارقام پی را پیدا کنند که به همان صورت گروهی و به شکلی منظم و با قاعده تکرار شوند. آنها این را "نظمی در بی نظمی" نامیده اند اما هنوز نتیجه قطعی حاصل نشده است. با اینهمه آیا این شگفت انگیز و اسرار آمیز نیست که در میان اینهمه بی نظمی ارقام پی، رقمهای 358 ام، 359 ام و 360 ام بعد از ممیز این رشته بی انتها بترتیب اعداد 3 و 6 و 0 هستند که عدد (360) را تشکیل میدهند که درجات موجود در دایره است؟! آیا این یک تصادف است یا یک راز؟  در زیر، عدد پی را تا 360  رقم بعداز ممیز در شش ردیف شصت تایی مشاهده میکنید. بخصوص به سه رقم آخر آن توجه فرمایید :  

 

 

 

حالا شما اگر آرک تانژانت یک، دو و سه را با هم جمع کنید همین عدد اسرار آمیز بسادگی پیدا میشود:

 

                                         

              

نه تنها این معادله به خودی خود زیباست بلکه برهان آن نیز بسیار زیباست خصوصن که به "برهان بی کلام"شهرت یافته است یعنی بوسیله یک "شکل" و در کمال ایجاز این فرمول ثابت میشود                                                                                                                                     

 

یکی از شاگردان من که هزار رقم بعد از ممیز عدد پی را فقط بخاطر تفنن و اینکه قدرت حافظه اش را نشان بدهداز حفظ کرده بود میگفت که برای از حفظ کردن آنها یک "ریتمی" را پیدا کرده است و وقتیکه 45 دقیقه وقت خواست تا در حضور عده ای منجمله روزنامه نگاران آن هزار رقم را روی تخته بنویسد، گروه گروه ارقام را مینوشت و بین این گروهها جاهایی را خالی میگذاشت و بعد بر میگشت و آن جاهای خالی را با ارقام دیگری پر میکرد تا هزار رقم کامل شد. قابل توجه است که بدانید رکورد حفظ کردن ارقام بعد از ممیز عدد پی متعلق به یک ژاپنی بنام Hiroyuki Goto  است که در سال 1995 توانست 42195 رقم را حفظ کند.

                                                                                                             

                                                             ***************          

 

       در حدود 2300 سال پیش، اقلیدس ثابت کرد که اعداد اول پایان ناپذیرند. برهان او تا به امروز یکی از زیبا ترین برهان های علم ریاضی و از شاهکار های ریاضیات استدلالی است که بواسطه سادگی و ایجاز، بسیار قابل تحسین است. البته برهان های دیگری هم هستند که در مقام خود زیبا و ستودنی میباشند ولی برهان اقلیدس چیز دیگری است. او چنین استدلال کرد: اعداد اول بی پایانند اما اگر کسی ادعا کند که پایانی بر اعداد اول وجود دارد، اجازه دهید آن "بزرگترین" عدد اول را   P_L   بنامیم( مخفف The Last Prime )، پس سلسله اعداد اول از ابتدا تا انتها خاهد شد :

 

                                                                                         

     

حالا همه این اعداد را در هم ضرب کرده و به حاصلضرب آنها یکواحد اضافه میکنیم و نام این عدد جدید را Q میگذاریم :

                         

  Q عدد جالبی است. اگر آنرا بر هر یک از اعداد اول موجود (از  2  گرفته تا  P_L ) تقسیم کنیم، باقیمانده هر تقسیم برابر یک خواهد شد. پس  Q  خود "اول" است و بدیهی است که از  P_L  هم بزرگتر است( چون برابر است با حاصلضرب    P_L در تمام اعداد اول موجود قبل از آن، به اضافه یک ). پس P_L  بزرگترین عدد اول نیست و Q  از آن بزرگتر است. این روش استدلال ریاضی را در فارسی، برهان خلف ، در انگلیسی Proof by Contradiction و در لاتین Reductio ad Absurdum میگویند.

 

شگفتیهای ریاضیات چون سلسله اعداد بی پایانند. تردید دارم که در سایر رشته هایی که از نبوغ بشر سرچشمه گرفته و زاده شده اند، اینهمه رمز و راز و شگفتی پیدا شود که در ریاضیات هست. باید ریاضیات را مطاله کرد تا به این زیبایی ها و شگفتی ها پی برد.

 

"نسبت طلایی" که به حرف یونانی فای نشان داده میشود و امیدوارم در فرصت مناسبی بتوانم مقاله ای جداگانه در باره آن خدمتتان تقدیم کنم، یکی از شگفتیهای بزرگ اعداد است. فای از دوران باستان شناخته شده و در زمینه های هنر و معماری بسیار به کار برده شده است لیکن تحقیقاتی که اخیرا" روی آن شده نقش حیرت انگیز و باور نکردنی آنرا در طبیعت بیشتر آشکار ساخته است. نسبت طلایی یا عدد طلایی عددی است تقریبا" برابر  1.618  و تحقیقا" برابر

                                                                     

که ظاهرا" هیچ فرقی با اعداد گنگ دیگر ندارد جز آنکه مقدار عددیش متفاوت است. اما در حقیقت عددی است بسیار مخصوص و اسرار آمیز. این عدد چطور بوجود میاید؟

 

مربع ABCD  را در نظر بگیرید با طول ضلع یکواحد( شکل زیر ). نقطه ی O  وسط ضلع CB  است. به مرکز این نقطه و به شعاع  OA کمانی بکشید تا امتداد CB را در نقطه ی Q قطع کند. مربع مستطیلPQCD  یک  "مستطیل طلایی" است و نسبت طول به عرض آن برابر  1.618  میباشد.

                                          

 گفته شده است که چنین مستطیلی به چشم انسان زیباتر از سایر مستطیل ها است. بهمین دلیل از دوران باستان تا به امروز در معماری بسیار به کار رفته است و امروز هم وقتی میخواهند چیزی را مستطیل شکل بسازند که چشم نواز هم باشد آنرا به شکل مستطیل طلایی میسازند یعنی اگر طولش را بر عزضش تقسیم کنیم عددی نزدیک به  1.6  بدست میاید. به عنوان مثال کارتهای اعتباری، گواهینامه رانندگی و کارتهای تلفن همگی به مستطیل طلایی نزدیک اند. نسبت طلایی در ساختمان بسیاری از قسمتهای بدن انسان منجمله دست، صورت، ضربان قلب، اندازه  DNA و غیره، همچنین در ساختمان بدن گیاهان و جانوران مشاهده شده است. مثلا" نسبت طول ساعد انسان (از آرنج تا مچ دست) را بر طول کف دست برای تعداد زیادی از انسانها محاسبه کرده و معدل گرفته اند : عددی نزدیک به    1.6 بدست آمده است. (در مورد من این نسبت  27 cm  به  19 cm  است که برابر  1.42 میباشد)

 

                    

 و نیز وقتیکه مولکول DNA   را در یک مستطیل محاط کنید بطوریکه اضلاع مستطیل مماس بر آخرین اتمهای مولکول از چهار جهت باشند، مستطیل طلایی بدست خواهد آمد.

                                     

 حتی در انجیل نیز اشاره ای به نسبت طلایی شده است، بهمین دلیل این نسبت را از قدیم  "نسبت الهی" هم گفته اند و گروهی را عقیده بر این است که در خلقت جهان هستی و کاینات این نسبت نقش ویژه ای دارد.

 

رشته ی فیبوناچی که توسط کشیشی مسیحی به همین نام(Leonardo Fibonacci, 1170-1240 ) ساخته شد رشته ایست که هر ترم آن از جمع کردن دو ترم قبلی اش بوجود میاید. اگر این رشته را با صفر شروع کنیم، بیست ترم اول آن خواهد شد

 

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181                        

 

اگر هر ترم این رشته را بر ترم قبلی اش تقسیم کنیم، نسبت طلایی بدست میاید و هر چه که دو ترم انتخاب شده بزرگتر باشند خارج قسمت آنها به مقدار تحقیقی نسبت طلایی نزدیکتر میشود. البته  اجباری نداریم رشته فوق را با صفر شروع کنیم، میتوانیم آنرا با هر عدد مثبت دلخواهی( بعنوان ترم یکم )شروع کنیم وآنرا با عدد قبلی اش جمع نماییم تا ترم دوم بدست آید و این ترم را نیز با ترم قبلی اش جمع کنیم تا ترم سوم حاصل شود و همینطور... این رشته البته دیگر رشته فیبوناچی نیست و ما میتوانیم مثلا" نام خودمان را روی آن بگذاریم! بعنوان مثال اگر ترم اول را  81  انتخاب کنیم، آنگاه خواهیم داشت :

 

81, 161, 242, 403, 645, 1048, …                                                                                           

 

در اینجا نیز اگر هر ترم را بر ترم قبلی اش تقسیم کنیم، خارج قسمت، "نسبت طلایی" خواهد شد و هر چه جلوتر برویم این نسبت دقیقتر میشود.

 

حالا یک عدد مثبت انتخاب کنید و آنرا وارد یک ماشین حساب نمایید. جذر آنرا بگیرید و به آن یکواحد اضافه کنید. باز جذر عدد حاصل را بگیرید و به آن یکواحد اضافه کنید و اینکار را چندین مرتبه تکرار نمایید. با کمال  تعجب خواهید دید که حاصل محاسبات پس از نوسانهای زیاد به نسبت طلایی نزدیک میشود و هر چه چرخه فوق را بیشتر تکرار کنید به مقدار تحقیقی آن نزدیکتر خواهید شد. اگر عدد انتخابی شما یک باشد، آنگاه نسبت طلایی برابر خواهد شد با :

 

                                                 

 

این مرتبه عدد مثبت دلخواه دیگری بگیرید، آنرا معکوس کنید و به آن یکواحد اضافه نمایید. حاصل را باز معکوس کنید و به آن یکواحد اضافه نمایید و اینکار را چندین مرتبه دیگر هم تکرار کنید. باز پس از نوسانهای زیاد، به نسبت طلایی میرسید. اگر این مرتبه نیز عدد انتخابی شما یک باشد، آنگاه نسبت طلایی برابر خواهد شد با :

 

                                                        

آنچه قابل ملاحظه است اینستکه محاسباتی که در سه چهار آزمایش فوق انجام گرفت، الگوریتمی کاملا" متفاوت با هم دارند :

 "جمع کردن با ترم قبلی" و "جذر گرفتن و اضافه نمودن یک" و "معکوس نمودن و اضافه کردن یک" ماهیتی کاملا" متفاوت دارند ولی با کمال تعجب حاصل همگی یک چیز است : نسبت طلایی.

 

آیا میتوان این پدیده ها را جز "زیبا و شگفت انگیز" چیز دیگری نامید؟

 

                                                       ********************

 

از چند هزار سال پیش به اینطرف که بشر هندسه اقلیدسی را آموخت و با مفاهیم، اصول و قضایای آن آشنا گشت، همواره این اصل بدیهی راپذیرفته بود که هر شکل مسطحی، خواه کوچک باشد خواه بزرگ، هم مساحتش معین است و هم محیطش. مثلا" اگر قطعه زمینی دارای مساحتی برابر با  1000  متر مربع باشد،بسته به اینکه چه شکلی داشته باشد، دارای محیط مشخصی خواهد بود : مثلا" اگر به شکل دایره باشد محیطش  112  متر است و اگر به شکل یک مثلث متساوی الاضلاع باشد، محیطش  144  متر خواهد شد. سرزمین ایران دارای مساحتی تقریبا" برابر    1, 648, 000کیلومتر مربع است. اگر ایران به شکل یک دایره بود پیرامونی برابر  4551  کیلومتر میداشت. اگر این مسافت را با خودرویی که سرعتش صد کیلومتر در ساعت است طی کنیم، تقریبا"  46  ساعت طول میکشد تا این مسافت را بپیماییم. اگر ایران به شکل یک مربع بود، پیرامونش  5135  کیلومتر میشد که با همان خودرو ظرف تقریبن  51  ساعت میتوانستیم یک دور کامل بدور آن بزنیم.

 

در حدود صد سال پیش یک ریاضیدان سوئدی بنام کخ(Niels Fabian Helge von Koch, 1870-1924 ) وقتیکه مشغول مطالعه اشکال هندسی بود و مساحت ها و محیط های آنها را بررسی میکرد، متوجه یک خاصیت غیر عادی و تا حدودی پارادوکسیکال در برخی از آنها شد. او کشف کرد که میتوان شکلهایی ترسیم نمود که اندازه مساحتشان معین، اما اندازه محیطشان بینهایت باشد و جالب اینجاست که الزامی هم ندارد که این چنین شکلهایی بسیار بسیار بزرگ باشند تا محیطشان بینهایت شود، برعکس میتوانند به بزرگی یک کف دست باشند و در عین حال محیطشان بینهایت باشد. برای اینکه این موضوع بهتر درک شود به مثال زیر توجه فرمایید :

 

 فرض کنید که یک مثلث متساوی الاضلاع دارید که هر ضلع آن  81  سانتیمتر است. هر ضلع را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید( هر یک 27 سانتیمتر )و قسمت میانی را بردارید و بجای آن یک مثلث متساوی الاضلاع که طول هر ضلع آن  27  سانتیمتر باشد( بدون قاعده، مطابق شکل زیر )قرار دهید تا ستاره شش پر درست شود. محیط این ستاره متشکل از  12  قطعه خط است هر یک به طول  27  سانتیمتر. هر یک از این قطعه خط ها را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید( هر یک 9 سانتیمتر )و مثل دفعه قبل، قسمت میانی آنرا بردارید و بجایش یک مثلث متساوی الاضلاع با ابعاد  9  سانتیمتر( باز بدون قاعده )قرار دهید تا ستاره  18  پر درست شود.

 

                       

 اگر اینکار را بینهایت مرتبه انجام دهید، شکلی حاصل میشود که شبیه دانه های کریستال برف در زیر میکروسکوپ است و بهمین دلیل هم آنها را شکلهای دانه برفی( Snowflake Curves )میگویند.

                     

با استفاده از فرمولهای تصاعد هندسی میتوان ثابت کرد که مساحت چنین شکلهایی بسوی مقدار معینی میل میکند در حالیکه پیرامونشان بسوی بینهایت میرود( نگاه کنید به مسئله شماره   )

 

اگر به شکلهای فوق با دقت نگاه کنید، خواهید دید که همه آنها در یک مربع معین محاط شده اند.  صرفنظر از اینکه چند مرتبه اضلاع مثلث ها را کوچک وکوچکتر کنید، اشکال جدید حاصل، هر گز از مربع محیطی خود خارج نمیشوند و بهمین دلیل هم مساحت آنها همواره کمتر از مساحت مربع است ولی جالب اینجاست که در همین مربع محدود، محیط این دانه های برفی با افزایش تعداد مثلثهای بدون قاعده افزایش یافته و بسوی بینهایت میل میکند.

 

اگر تکه ای کوچک از یک منحنی برفی را در زیر ذره بین بزرگ کنیم، شکلی دقیقا" شبیه دانه بزرگتر آن بدست میاید. اشکالی که چنین خاصیتی را دارا هستند، اشکال شکسته( Fractals )نامیده میشوند و ان بخش از هندسه که در باره این اشکال گفتگو میکند، هندسه اشکال شکسته(Fractal Geometry )نام دارد.

 

در آزمایش فوق اگر بجای مثلث متساوی الاضلاع، مثلن با یک مربع شروع میکردید، و در وسط هر ضلع آن، مربع کوچکتری( با اضلاع مثلا" 4/1 )میگذاشتید و اینکار را بینهایت مرتبه تکرار میکردید باز شکلی دانه برفی منتها با مساحت دیگری بدست میامد ولی محیطش بهر حال بسوی بینهایت میرفت.

 

                                                 ***********************

 

در سال  1949  یک ریاضیدان هندی به نام کاپرکار( Kaprekar, 1905-1988 )ویژگی جالبی را در اعداد کشف کرد و در مقاله ای در همان سال منتشر نمود. او کشف خود را اینطور توضیح داد : یک عدد چند رقمی انتخاب کنید( مثلن 8952 ). ارقام آنرا یکبار بصورت نزولی مرتب کنید( 9852 )و یکبار هم بصورت صعودی( 2589 )تا "بزرگترین" و "کوچگترین" عدد با همان ارقام حاصل آید. تفاضل این دو عدد را بدست آورید( 7263 )و با این عدد نیز همان کاری را بکنید که با عدد انتخابی خود کردید : یعنی ارقام آنرا بصورت نزولی و بعد بصورت صعودی مرتب کنید( 7632 و 2367 )و تفاضل آنها را بدست آورید و اینکار را چند مرتبه دیگر هم تکرار کنید. با کمال تعجب خاهید دید که همیشه به یک عدد ثابت خواهید رسید. اگر عدد انتخابی شما چهار رقمی بوده باشد عدد ثابتی که همواره در عاقبت به آن میرسید  6174  خواهد بود. این عدد را "ثابت کاپرکار برای چهار رقمی ها" میگویند. این آزمایش را با یک عدد سه رقمی یا پنج رقمی هم انجام دهید. خواهید دید که برای هر عدد  n- رقمی یک " ثابت کاپرکار" مخصوصی وجود دارد که تغییر ناپذیر است.

 

 از آن تاریخ تا کنون و بخصوص در سالهای اخیر و با استفاده از کامپیوتر تحقیقات زیادی روی این اکتشاف شده و نتایج جالبی هم بدست آمده است. مثلا" معلوم شده که دقیقا"  63  عدد سه رقمی هستند ( مثل  212 و 787 و غیره )که این خاصیت را ندارند و در نهایت به صفر منتهی میشوند در حالیکه سایر اعداد سه رقمی ظرف حد اکثر شش چرخه به عدد  495  ( ثابت کاپرکار برای سه رقمی ها )میرسند.  همچنین معلوم شده است که دقیقا"  77  عدد چهار رقمی هستند( مثل  4544 و 5556 وغیره )که این خاصیت را ندارند و باز به صفر منتهی میشوند در حالیکه بقیه ی اعداد چهار رقمی ظرف حد اکثر هشت چرخه به عدد  6174  ( ثابت کاپرکار برای چهار رقمی ها )میرسند.

 

براستی چرا این اتفاقات میافتند و چگونه میتوان اینهمه نظم و آنهمه بی نظمی را توضیح داد؟ آیا در همه آن بی نظمی ها خود نظمی نهفته نیست که هنوز بر ما پوشیده است؟

 

همانگونه که قبلا" گفته شد شگفتی ها و زیبایی های ریاضییات پایانی ندارند. تحقیقات ریاضیدانان و جستجوگران دایمن پرده از روی آنها برمیدارد و جلوه دیگری از رازهای درون آنها را آشکار میکند، رازهایی که همواره در طی قرون برای بشر جذاب و تحسین بر انگیز بوده اند. آنچه در این مقاله در مورد زیبایی ها و شگفتی های ریاضییات گفته شد چون قطره ای بود از دریا. امیدوارم در طول مطالعه ی خود از ریاضییات، با چشم زیبا بین، و با تعمق در جزئیات هر مطلبی که مطالعه میکنید و بخصوص با توجه عمیق به الگوهای ریاضی که سر شار از نظم( و گاهی بی نظمی )هستند بتوانید زیبایی ها و شگفتی های بیشتری ببینید و شاید خود روزی در میان آنهمه بی نظمی، نظمی کشف کنید و یک شگفتی جدید خلق نمایید. پایان

بازي نوجوان> آموزش  رياضي >  ‌معرفي سايتهاي ديگر   گردونه اعداد    ضرب  كسر و شكل     چهار عمل اصلي  آزمايشگاه رياضي  پازل سوال رياضي امتياز و سوال    كسرهاي مشابه  چهار عمل اصلي چهار عمل اصلي چهار عمل اصلي  چهار عمل اصلي كسرهاي يكسان بازي ضرب ضرب و تقسيم   ضرب و تقسيم ماشين حساب  جمع دو رقمي  جمع و ضرب يك رقمي  چهار عمل اصلي

صفحه اصلي بازي

بازي رياضي براي كودكان

طراحي صفحات توسط سايت كودكان دات او آر جي  ، هر نوع كپي برداري ممنوع است

تقدیم به اقا امام زمان (عج):

به انتگرال عشقت چون رسیدم بی نهایت شد   

                           کزین بهتر ندانستم ،ببخشایم جسارت شد